Um fóton de raios
com comprimento de onda
é espalhado em elétrons livres com um ângulo de
.
a. Calcule o módulo do momento do elétron espalhado.
b. Calcule o ângulo de recuo desse elétron.
a. Calcule o módulo do momento do elétron espalhado.
b. Calcule o ângulo de recuo desse elétron.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. Temos um fóton de raios X com comprimento de onda inicial de
que espalha em elétrons livres formando um ângulo de
. Precisamos:
a. Calcular o módulo do momento do elétron espalhado.
b. Calcular o ângulo de recuo desse elétron.
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de conservação de momento e energia, além da fórmula de Compton para espalhamento de fótons. Não se preocupe se não estiver familiarizado com tudo isso agora, vou explicar passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece nesse espalhamento. Quando o fóton de raios X colide com um elétron livre, ele muda de direção e comprimento de onda. O elétron também recebe um “empurrão” e começa a se mover, ganhando momento.
Aqui, sabemos o comprimento de onda final do fóton (
) e o ângulo de espalhamento (
). Queremos encontrar o momento do elétron depois dessa interação.
Passo 3
Vamos usar a conservação do momento. O momento é uma quantidade vetorial, ou seja, tem direção e sentido. A mudança no momento do fóton será igual e oposta ao momento ganho pelo elétron.
A fórmula do momento de um fóton é dada por:
onde
é a constante de Planck (
) e
é o comprimento de onda.
Passo 4
Vamos calcular os momentos antes e depois do espalhamento.
Momento inicial do fóton:
Momento final do fóton:
Substituindo os valores:
Observamos que o comprimento de onda final é o mesmo que o inicial, o que significa que o momento do fóton não mudou. Mas isso não faz sentido no contexto do espalhamento, então precisamos considerar a direção do momento também.
Passo 5
Vamos considerar a conservação do momento nas direções horizontal e vertical.
Suponha que o fóton inicial se movia na direção positiva do eixo x. Após o espalhamento, ele faz um ângulo de
com a direção original.
Então, as componentes do momento final do fóton são:
Passo 6
Aplicando a conservação do momento:
Na direção x:
Na direção y:
Onde
e
são as componentes do momento do elétron.
Vamos resolver essas equações para encontrar
e
.
Passo 7
Primeiro, calculamos
e
:
Agora, aplicamos na conservação do momento.
Passo 8
Na direção x:
Na direção y:
Passo 9
Agora, para encontrar o módulo do momento do elétron (
), usamos o teorema de Pitágoras, já que temos as componentes x e y:
Resposta
a. O módulo do momento do elétron espalhado é aproximadamente
.