Um fóton de raios X com frequência inicial f=4 times 10^13 Hz incide sobre um elétron livre em repouso. Durante a interação, o fóton é espalhado a um ângulo de theta=45^circ.
Qual o comprimento de onda do fóton espalhado?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um fóton de raios X com uma frequência inicial de $ f = 4 \times 10^{13} , Hz $ que bate num elétron que está parado. Depois da colisão, o fóton se espalha num ângulo de $ \theta = 45^\circ $. A pergunta é: qual é o comprimento de onda desse fóton espalhado?
Aqui, estamos lidando com Espalhamento Compton, que é quando um fóton colide com um elétron e muda de direção e energia. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula de Compton, que relaciona a mudança no comprimento de onda do fóton com o ângulo de espalhamento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a relação entre frequência ($ f f \lambda $) de um fóton. A fórmula é:
lambda
onde $ c = 3 \times 10^8 , m/s $ é a velocidade da luz.
Vamos calcular o comprimento de onda inicial do fóton.

Passo 3

Substituindo os valores na fórmula:
lambdainicial = 3 times 10^8 , m/s4 times 10^13 , Hz = 7.5 times 10^-6 , m = 7.5 , mum
Então, o comprimento de onda inicial do fóton é $ 7.5 , \mum $.

Passo 4

Agora, vamos usar a fórmula de Compton para encontrar o comprimento de onda após o espalhamento:
lambda' = lambdainicial + hme c (1 - cos theta)
onde:
  • $ h = 6.626 \times 10^{-34} , J·s $ é a constante de Planck,
  • $ m_e = 9.109 \times 10^{-31} , kg $ é a massa do elétron,
  • $ \theta = 45^\circ $ é o ângulo de espalhamento.
O termo $ \frac{h}{m_e c} $ é conhecido como comprime de Compton, e vale aproximadamente $ 2.426 \times 10^{-12} , m $.

Passo 5

Calculando a parte do aumento no comprimento de onda:
De
Sabemos que $ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.7071 $, então:
cos 45^circ = raiz22 approx 0.7071

Passo 6

Agora, somamos a mudança no comprimento de onda ao comprimento de onda inicial para obter o comprimento de onda final:
lambda' = lambdainicial + De
Como a alteração é muito pequena comparada ao comprimento de onda inicial, podemos arredondar:
lambda' approx 7.50000071 , mum

Resposta

O comprimento de onda do fóton espalhado é aproximadamente $ 7.50000071 , \mum $.

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