1. Fótons ultravioleta de comprimento de onda de 150 nm incidem sobre uma superfície de platina, cujo trabalho para extrair um elétron é 6,35 \mathrm{eV}.
    (a) Qual é a energia dos fótons?
    (b) Como sabemos que estes fótons têm energia suficiente para ejetar elétrons?
    (c) Qual é a energia cinética máxima dos elétrons ejetados?
    (d) Qual é o potencial de frenagem necessário para impedir a corrente de fotoelétrons?
    (Solução: (a) E=8,27 \mathrm{eV}
    (c) K_{\text {max }}=1,92 \mathrm{eV}

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e faz estas perguntas.
Dados fornecidos:
  • Comprimento de onda dos fótons: \lambda = 150\\ \mathrm{nm}.
  • Função trabalho (energia necessária para arrancar um elétron da platina): \varphi = 6{,}35\\ \mathrm{eV}.
Perguntas:
(a) Qual é a energia dos fótons?
(b) Como sabemos que estes fótons têm energia suficiente para ejetar elétrons?
(c) Qual é a energia cinética máxima dos elétrons ejetados?
(d) Qual é o potencial de frenagem necessário para impedir a corrente de fotoelétrons?

Passo 2

Vamos calcular a energia de um fóton usando a relação fundamental entre energia e comprimento de onda. A teoria básica que precisamos é:
  • Cada fóton tem energia dada por E = h\nu, onde h é a constante de Planck e \nu é a frequência.
  • A frequência e o comprimento de onda estão relacionados por \nu = c/\lambda, onde c é a velocidade da luz.
    Combinando as duas fórmulas obtemos:
E = h\nu = h\frac{c}{\lambda}.
Agora vamos colocar números (sempre com unidades em SI para obter energia em joules):
  • h = 6{,}626\times 10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s},
  • c = 3{,}00\times 10^{8}\\ \mathrm{m/s},
  • \lambda = 150\\ \mathrm{nm} = 150\times 10^{-9}\\ \mathrm{m} = 1{,}50\times 10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Cálculo em joules:
E = \frac{6{,}626\times 10^{-34}\times 3{,}00\times 10^{8}}{1{,}50\times 10^{-7}} = \frac{1{,}9878\times 10^{-25}}{1{,}50\times 10^{-7}} = 1{,}3252\times 10^{-18}\\ \mathrm{J}.
Como a função trabalho está em elétron‑volts, convertemos a energia do fóton para \mathrm{eV} usando 1\\ \mathrm{eV}=1{,}602\times 10^{-19}\\ \mathrm{J}:
E = \frac{1{,}3252\times 10^{-18}}{1{,}602\times 10^{-19}} \approx 8{,}27\\ \mathrm{eV}.

Passo 3

Agora explico didaticamente por que comparamos essas energias para saber se há ejeção de elétrons.
Conceito: a fotoemissão (efeito fotoelétrico) só ocorre se a energia de cada fóton for pelo menos igual à função trabalho \varphi. Em fórmulas, a energia mínima necessária é \varphi. Se E_{\text{fóton}} \ge \varphió, então um elétron pode ser arrancado; se E_{\text{fóton}}<\varphió, nenhum elétron será ejetado (não importa a intensidade).
Podemos também falar em comprimento de onda limite (limite máximo de \lambda que ainda ejetaria elétrons). Esse comprimento de onda limite \lambda_{\text{lim}} satisfaz hc/\lambda_{\text{lim}}=\varphi, logo
\lambda_{\text{lim}}=\frac{hc}{\varphi}.
Convertemos \varphi para joules antes de usar essa fórmula:
\varphi = 6{,}35\\ \mathrm{eV} = 6{,}35\times 1{,}602\times 10^{-19}\\ \mathrm{J} = 1{,}0173\times 10^{-18}\\ \mathrm{J}.
Então
\lambda_{\text{lim}} = \frac{1{,}9878\times 10^{-25}}{1{,}0173\times 10^{-18}} \approx 1{,}95\times 10^{-7}\\ \mathrm{m} = 195\\ \mathrm{nm}.
Interpretação: fótons com \lambda \le 195\\ \mathrm{nm} (mais energéticos) podem ejetar elétrons. Nosso fóton tem \lambda=150\\ \mathrm{nm}, que é menor que 195\\ \mathrm{nm}, então tem energia suficiente. Alternativamente, comparando diretamente: E_{\text{fóton}} \approx 8{,}27\\ \mathrm{eV}ó e \varphi=6{,}35\\ \mathrm{eV}, logo E_{\text{fóton}}>\varphió.

Passo 4

Calcular a energia cinética máxima dos elétrons ejetados usando a equação de Einstein para o efeito fotoelétrico:
K_{\max} = E_{\text{fóton}} - \varphi.ó
Já temos E_{\text{fóton}} \approx 8{,}27\\ \mathrm{eV}ó e \varphi = 6{,}35\\ \mathrm{eV}. Então
K_{\max} = 8{,}27\\ \mathrm{eV} - 6{,}35\\ \mathrm{eV} = 1{,}92\\ \mathrm{eV}.
Se quisermos em joules:
K_{\max} = 1{,}92\times 1{,}602\times 10^{-19}\\ \mathrm{J} = 3{,}0758\times 10^{-19}\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Calcular o potencial de frenagem (potencial de parada) necessário para impedir a corrente de fotoelétrons.
Conceito: para deter os elétrons mais rápidos precisamos aplicar um potencial retardador V_s tal que a energia elétrica eV_s seja igual à energia cinética máxima K_{\max}. Aqui e é a carga elementar e=1{,}602\times 10^{-19}\\ \mathrm{C}. Assim:
eV_s = K_{\max}\quad\Rightarrow\quad V_s = \frac{K_{\max}}{e}.
Se usarmos K_{\max} em elétron‑volts, então numericamente V_s em volts é igual ao valor em \mathrm{eV}. Como K_{\max}=1{,}92\\ \mathrm{eV}, obtemos
V_s = 1{,}92\\ \mathrm{V}.
Em joules a conta daria V_s = \dfrac{3{,}0758\times 10^{-19}\\ \mathrm{J}}{1{,}602\times 10^{-19}\\ \mathrm{C}} = 1{,}92\\ \mathrm{V}, mesmo resultado.

Resposta

(a) E_{\text{fóton}} = 8{,}27\\ \mathrm{eV}ó.
(b) Sim. Porque E_{\text{fóton}}=8{,}27\\ \mathrm{eV}>\varphi=6{,}35\\ \mathrm{eV}ó (ou \lambda=150\\ \mathrm{nm}<\lambda_{\text{lim}}\approx 195\\ \mathrm{nm}), logo há energia suficiente.
(c) K_{\max}=1{,}92\\ \mathrm{eV} (ou 3{,}076\times 10^{-19}\\ \mathrm{J}).
(d) V_s=1{,}92\\ \mathrm{V}.

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