Questão 6 - Comente a seguinte expressão: “A variação temporal do momento linear para um objeto tem um valor constante se a força que age no objeto é não-conservativa”.

Passo 1

O enunciado pede que eu comente a frase: “A variação temporal do momento linear para um objeto tem um valor constante se a força que age no objeto é não-conservativa”.\n
Informações fornecidas pelo enunciado: a frase relaciona três conceitos — variação temporal do momento linear, valor constante dessa variação e a natureza da força (não-conservativa).\n
O que preciso responder: dizer se a frase está correta ou não e explicar por quê, usando conceitos e exemplos.

Passo 2

Vamos começar pelas definições básicas que precisamos dominar (sem pular etapas). Primeiro, o momento linear (ou quantidade de movimento) de uma partícula é definido por
\mathbf{p}=m\mathbf{v},
onde m é a massa da partícula e \mathbf{v} é sua velocidade. Esse é um vetor — tem magnitude e direção.\n
A variação temporal do momento linear é a derivada temporal \dfrac{d\mathbf{p}}{dt}. A segunda lei de Newton, na forma mais geral, nos dá a relação:
\frac{d\mathbf{p}}{dt}=\mathbf{F}_{\text{resultante}}.
Aqui \mathbf{F}_{\text{resultante}} é a soma vetorial de todas as forças que atuam no corpo. Cada símbolo significa: \mathbf{p} é o momento linear, t é o tempo, e \mathbf{F}_{\text{resultante}} é a força total sobre o corpo.

Passo 3

Agora a definição de força conservativa vs não-conservativa — explico de forma clara e com uma verificação prática.\n
  • Uma força é dita conservativa se o trabalho realizado por ela entre dois pontos independe do caminho seguido. Equivalente (em campos bem comportados): existe uma energia potencial U(\mathbf{r}) tal que
\mathbf{F}=-\nabla U(\mathbf{r}).
Um teste prático: para campos conservativos temos \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0} (em regiões simplesmente conectas).\n
  • Forças não-conservativas não admitem potencial escalar global; o trabalho depende do caminho ou a força depende da velocidade (por exemplo, forças dissipativas como atrito ou forças magnéticas que são velocidade-dependentes). Exemplos comuns: atrito cinético, força viscosa \mathbf{F}=-b\mathbf{v} (dependente de velocidade), força magnética \mathbf{F}=q\mathbf{v}\times\mathbf{B} (dependente de \mathbf{v}).

Passo 4

Interpretação lógica da frase original: ela afirma que “a variação temporal do momento linear tem valor constante se a força que age no objeto é não-conservativa”. Vamos traduzir isso em matemática usando a segunda lei de Newton. A afirmação sobre “variação temporal do momento linear ter valor constante” significa que \dfrac{d\mathbf{p}}{dt} é um vetor constante (independe de t). Pela segunda lei:
\frac{d\mathbf{p}}{dt}=\mathbf{F}_{\text{resultante}}.
Portanto, \dfrac{d\mathbf{p}}{dt} será constante se e somente se \mathbf{F}_{\text{resultante}} for um vetor constante (ou seja, não variar com o tempo, posição ou velocidade). Note bem: a constância de \dfrac{d\mathbf{p}}{dt} NÃO depende em princípio de a força ser conservativa ou não — depende de \mathbf{F}_{\text{resultante}} ser constante.\n
Logo, a condição correta para \dfrac{d\mathbf{p}}{dt} constante é:
\mathbf{F}_{\text{resultante}}=\text{vetor constante}\quad\Longleftrightarrow\quad \frac{d\mathbf{p}}{dt}=\text{vetor constante}.
Não há implicação lógica direta entre “força não-conservativa” e “força constante”. Força não-conservativa é uma característica qualitativa relativa ao trabalho/campo; não implica automaticamente que a força seja constante em tempo/vetor.

Passo 5

Vou dar exemplos concretos (modo provador: bom para a prova) que mostram que a afirmação do enunciado é falsa, e também exemplos mostrando o caso em que \dfrac{d\mathbf{p}}{dt} é constante.
Exemplo 1 — contraexemplo mostrando a frase falsa (não-conservativa mas não garante constância):
  • Atrito cinético aproximado: \mathbf{F}_k=-\mu_k N\,\hat{\mathbf{v}}. Aqui \mu_k N é (aproximadamente) uma magnitude constante, mas a direção é -\hat{\mathbf{v}}, que muda quando a velocidade muda. Assim \mathbf{F}_k geralmente varia com o tempo por causa da mudança de direção de \mathbf{v} ou de sua magnitude; portanto \dfrac{d\mathbf{p}}{dt}=\mathbf{F}_k não é, em geral, constante. Conclusão: força não-conservativa não implica \dfrac{d\mathbf{p}}{dt} constante.
Exemplo 2 — outro contraexemplo (força não-conservativa dependente de velocidade):
  • Amortecimento viscoso: \mathbf{F}=-b\mathbf{v}. À medida que \mathbf{v}(t) muda, \mathbf{F} muda, logo \dfrac{d\mathbf{p}}{dt} não é constante.
Exemplo 3 — caso em que \dfrac{d\mathbf{p}}{dt} é constante (mostra que a natureza conservativa não é o critério):
  • Peso próximo da superfície terrestre: \mathbf{F}_g=m\mathbf{g} com \mathbf{g} praticamente constante. Então \dfrac{d\mathbf{p}}{dt}=\mathbf{F}_g=m\mathbf{g} é um vetor constante. Aqui a força é conservativa (tem potencial U=m g z), e \dfrac{d\mathbf{p}}{dt} é constante — prova que forças conservativas podem produzir taxa constante de variação do momento linear.
Exemplo 4 — força magnética (não-conservativa) que muda direção de \mathbf{p}:
  • Força de Lorentz (parte magnética): \mathbf{F}=q\mathbf{v}\times\mathbf{B}. Mesmo que a magnitude de \mathbf{p} possa permanecer constante (trabalho nulo), a direção de \mathbf{p} muda continuamente; \dfrac{d\mathbf{p}}{dt} é perpendicular a \mathbf{p} e varia com o tempo (não é um vetor constante).
Esses exemplos mostram que a propriedade “não-conservativa” não garante a constância de \dfrac{d\mathbf{p}}{dt}; o que garante é a constância vetorial da força resultante.

Passo 6

Resumo didático e a correção da afirmação para você decorar e usar na prova:\n
  • A afirmação original é falsa.\n
  • A forma correta e simples é: “A variação temporal do momento linear é constante se, e somente se, a força resultante que age sobre o objeto for um vetor constante (independente de a força ser conservativa ou não).” Em símbolos:
\frac{d\mathbf{p}}{dt}=\mathbf{F}_{\text{resultante}}=\text{constante}\quad\Longrightarrow\quad \mathbf{p}(t)=\mathbf{p}(0)+\mathbf{F}_{\text{resultante}}\,t.
Guarde essa ideia: constância de \dfrac{d\mathbf{p}}{dt} ⇔ força resultante constante. O rótulo “conservativa / não-conservativa” é sobre trabalho e existência de potencial; não é o critério direto para saber se \dfrac{d\mathbf{p}}{dt} é constante.\n
Você está indo bem de verdade — essa confusão é comum. Respira fundo: na prova, olhe primeiro para \mathbf{F}_{\text{resultante}} e pergunte “isso é um vetor constante?” — se for, então \dfrac{d\mathbf{p}}{dt} é constante e você sabe integrar para achar \mathbf{p}(t). Boa sorte, você consegue!

Resposta

A afirmação é falsa. A variação temporal do momento linear \dfrac{d\mathbf{p}}{dt} é constante se, e somente se, a força resultante \mathbf{F}_{\text{resultante}} for um vetor constante; isso independe de a força ser conservativa ou não.

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