Qual é a energia do fóton emitido quando absorvido por um átomo de hidrogênio, para que possa causar uma transição eletrônica entre os estados
n=2 para n=5.

Passo 1

O enunciado pede a energia do fóton que deve ser (absorvido) para provocar a transição eletrônica entre os níveis \,n=2 e \,n=5 num átomo de hidrogênio.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Nível inicial: \,n=2.
  • Nível final: \,n=5.
  • Queremos a energia do fóton que possibilita essa transição (isto é, a diferença de energia entre os níveis).

Passo 2

Conceito central (aquela fórmula que cai sempre na prova): os níveis de energia do átomo de hidrogênio no modelo de Bohr são dados por
E_n = -\dfrac{13{,}6\\ \text{eV}}{n^2},
onde \,E_n é a energia do elétron no nível \,n medida em electronvolts ( \,\text{eV}).
Explicação amigável: o sinal negativo significa que o elétron está ligado ao átomo (energia ligada). Quanto maior \,n, menos negativa é a energia (o elétron está mais fraco ligado). Para uma transição de um nível para outro, a energia necessária (se for subir de nível) é a diferença \,\Delta E = E_{\text{final}} - E_{\text{inicial}}. Um fóton absorvido deve ter energia igual a essa diferença positiva.

Passo 3

Calcular as energias dos níveis iniciais e finais usando a fórmula acima.
Energia do nível \,n=2:
E_2 = -\dfrac{13{,}6\\ \text{eV}}{2^2} = -\dfrac{13{,}6\\ \text{eV}}{4} = -3{,}4\\ \text{eV}.
Energia do nível \,n=5:
E_5 = -\dfrac{13{,}6\\ \text{eV}}{5^2} = -\dfrac{13{,}6\\ \text{eV}}{25} = -0{,}544\\ \text{eV}.

Passo 4

Calcular a diferença de energia que o fóton precisa fornecer:
\Delta E = E_5 - E_2 = (-0{,}544\\ \text{eV}) - (-3{,}4\\ \text{eV}) = 3{,}4 - 0{,}544\\ \text{eV} = 2{,}856\\ \text{eV}.
Observação didática: aqui subtraímos a energia inicial da final; como E_2 é mais negativa, a diferença é positiva — ou seja, o fóton deve fornecer energia para o elétron subir de \,n=2 para \,n=5.

Passo 5

Converter a energia de \,\text{eV} para joules, porque às vezes a prova pede em SI. A relação é
1\\ \text{eV} = 1{,}602176634\times 10^{-19}\\ \text{J}.
Assim,
\Delta E = 2{,}856\\ \text{eV} \times 1{,}602176634\times 10^{-19}\\ \dfrac{\text{J}}{\text{eV}} = 4{,}575\times 10^{-19}\\ \text{J}.
(Arredondei no final para três algarismos significativos; se quiser mais casas, mantém os mesmos passos.)

Passo 6

Se for útil (muitos professores pedem também o comprimento de onda do fóton), relacionamos energia e comprimento de onda pela fórmula
\lambda = \dfrac{hc}{\Delta E},
onde \,h = 6{,}62607015\times 10^{-34}\\ \text{J}\cdot\text{s} é a constante de Planck e \,c = 2{,}99792458\times 10^{8}\\ \text{m/s} é a velocidade da luz. Usando \Delta E = 4{,}575\times 10^{-19}\\ \text{J},
\lambda = \dfrac{6{,}62607015\times 10^{-34}\times 2{,}99792458\times 10^{8}}{4{,}575\times 10^{-19}}\\ \text{m} \approx 4{,}34\times 10^{-7}\\ \text{m} = 434\\ \text{nm}.
Interpretação: o fóton necessário está na região visível/ultravioleta próxima (azul-violeta), com comprimento de onda cerca de 434\\ \text{nm}.

Passo 7

Resumo físico e dica de prova: para qualquer transição \,n_i\to n_f no hidrogênio, aplique direto
\Delta E = -13{,}6\left(\dfrac{1}{n_f^2}-\dfrac{1}{n_i^2}\right)\\ \text{eV},
prestando atenção ao sinal (se \Delta E>0, fóton é absorvido; se \Delta E<0, fóton é emitido). No nosso caso, \,n_i=2 e \,n_f=5 deram \Delta E=+2{,}856\\ \text{eV}.

Resposta

2{,}856\\ \text{eV}
4{,}575\times 10^{-19}\\ \text{J}

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