1. \int \cos a u \cos b u d u=\frac{\sin (a-b) u}{2(a-b)}+\frac{\sin (a+b) u}{2(a+b)}+C

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva de \cos(a u)\,\cos(b u) em função de u. O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas, e vamos usar a identidade de produto para soma.

Passo 2

Usamos a identidade
\cos(a u)\cos(b u) = \frac{1}{2}\bigl[\cos\bigl((a-b)u\bigr)+\cos\bigl((a+b)u\bigr)\bigr].

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int \cos(a u)\cos(b u)\,du = \frac{1}{2}\int \cos\bigl((a-b)u\bigr)\,du + \frac{1}{2}\int \cos\bigl((a+b)u\bigr)\,du.

Passo 4

Sabendo que
\int \cos(k u)\,du = \frac{\sin(k u)}{k},
aplicamos a cada termo:
\int \cos\bigl((a-b)u\bigr)\,du = \frac{\sin\bigl((a-b)u\bigr)}{a-b}, \quad \int \cos\bigl((a+b)u\bigr)\,du = \frac{\sin\bigl((a+b)u\bigr)}{a+b}.

Passo 5

Reunindo e incluindo a constante de integração C, obtemos
\int \cos(a u)\cos(b u)\,du = \frac{\sin\bigl((a-b)u\bigr)}{2(a-b)} + \frac{\sin\bigl((a+b)u\bigr)}{2(a+b)} + C.

Resposta

\frac{\sin\bigl((a-b)u\bigr)}{2(a-b)} + \frac{\sin\bigl((a+b)u\bigr)}{2(a+b)} + C

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