Produtos escalar e vetorial
Considere os seguintes vetores
Agora, considere
c) Encontre o angulo entre os dois vetores utilizando o produto escalar.
Considere os seguintes vetores
Passo 1
O enunciado dá os vetores
e pede para encontrar o ângulo entre esses dois vetores usando o produto escalar.
Informações relevantes dadas: as componentes de e
estão explicitamente fornecidas acima. Não há nenhuma outra informação necessária.
Informações relevantes dadas: as componentes de
Passo 2
Explicando o que é o produto escalar e como ele nos dá o ângulo (passo-a-passo didático, sem pular etapas):
- Para dois vetores em
, e , o produto escalar (ou dot product) é
Aqui
são as componentes dos vetores; multiplicamos componente a componente e somamos.
- A relação que liga o produto escalar ao ângulo
entre e é
onde
é o comprimento (norma) do vetor
, dado por
Assim, se conhecemos
e as normas, podemos isolar
:
e então
desse valor.
- Pequeno exemplo intuitivo: se
e , então . Como , temos e , o que faz sentido (vetores perpendiculares).
Agora vamos aplicar isso a
e
.
Passo 3
Calcular o produto escalar
usando a fórmula componente a componente:
Passo 4
Calcular as normas
e
.
Para
:
Para
:
Passo 5
Substituir na fórmula de
:
Passo 6
Determinar
a partir de
. Sabemos dos valores trigonométricos notáveis que
Portanto