Produtos escalar e vetorial
Considere os seguintes vetores
\begin{aligned} & \vec{a}=(3,2) \\\ & \vec{b}=(-2,3) \end{aligned}
Agora, considere
\vec{c}=(1, \sqrt{3}) \text { e } \vec{d}=(\sqrt{3}, 1)
c) Encontre o angulo entre os dois vetores utilizando o produto escalar.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
\vec{c}=(1,\sqrt{3})\quad\text{e}\quad \vec{d}=(\sqrt{3},1)
e pede para encontrar o ângulo entre esses dois vetores usando o produto escalar.
Informações relevantes dadas: as componentes de \vec{c} e \vec{d} estão explicitamente fornecidas acima. Não há nenhuma outra informação necessária.

Passo 2

Explicando o que é o produto escalar e como ele nos dá o ângulo (passo-a-passo didático, sem pular etapas):
  • Para dois vetores em \mathbb{R}^2, \vec{u}=(u_1,u_2) e \vec{v}=(v_1,v_2), o produto escalar (ou dot product) é
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2.
Aqui u_1,u_2,v_1,v_2 são as componentes dos vetores; multiplicamos componente a componente e somamos.
  • A relação que liga o produto escalar ao ângulo \theta entre \vec{u} e \vec{v} é
\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,\cos\theta,
onde \|\vec{u}\| é o comprimento (norma) do vetor \vec{u}, dado por
\|\vec{u}\|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}.
Assim, se conhecemos \vec{u}\cdot\vec{v} e as normas, podemos isolar \cos\theta:
\cos\theta = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|},
e então \theta=\operatorname{arccos} desse valor.
  • Pequeno exemplo intuitivo: se \vec{u}=(1,0) e \vec{v}=(0,1), então \vec{u}\cdot\vec{v}=0. Como \|\vec{u}\|=\|\vec{v}\|=1, temos \cos\theta=0 e \theta=90^\circ, o que faz sentido (vetores perpendiculares).
Agora vamos aplicar isso a \vec{c} e \vec{d}.

Passo 3

Calcular o produto escalar \vec{c}\cdot\vec{d} usando a fórmula componente a componente:
\vec{c}\cdot\vec{d} = 1\cdot\sqrt{3} + \sqrt{3}\cdot 1 = 2\sqrt{3}.

Passo 4

Calcular as normas \|\vec{c}\| e \|\vec{d}\|.
Para \vec{c}=(1,\sqrt{3}):
\|\vec{c}\|=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2.
Para \vec{d}=(\sqrt{3},1):
\|\vec{d}\|=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2.

Passo 5

Substituir na fórmula de \cos\theta:
\cos\theta = \frac{\vec{c}\cdot\vec{d}}{\|\vec{c}\|\,\|\vec{d}\|} = \frac{2\sqrt{3}}{2\cdot 2} = \frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 6

Determinar \theta a partir de \cos\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Sabemos dos valores trigonométricos notáveis que
\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=\cos(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Portanto
\theta=\frac{\pi}{6}=30^\circ.

Resposta

\theta=\dfrac{\pi}{6} (30^\circ)

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