Produtos escalar e vetorial
Considere os seguintes vetores
Agora, considere
d) Encontre um vetor perpendicular a c através do produto escalar.
Considere os seguintes vetores
Passo 1
O enunciado dá o vetor
e pede que eu encontre um vetor perpendicular a
usando o produto escalar. Informações relevantes que tenho aqui:
tem primeira componente
e segunda componente
.
A pergunta é: encontrar um vetor (qualquer um) que seja perpendicular a .
A pergunta é: encontrar um vetor (qualquer um) que seja perpendicular a
Passo 2
Vou lembrar o que significa “perpendicular” em termos de produto escalar. Para dois vetores em
,
o produto escalar é definido por
Dois vetores são perpendiculares (ortogonais) exatamente quando o produto escalar entre eles é
. Isso vem da interpretação geométrica do produto escalar, mas aqui basta usar a definição algébrica acima.
Passo 3
Procuro um vetor genérico perpendicular a
. Seja
onde
e
são números reais desconhecidos. A condição de perpendicularidade é
Substituindo
e
na definição do produto escalar, obtenho a equação
Passo 4
Resolvo a equação obtida para relacionar
e
:
Isso significa que qualquer vetor
com
será perpendicular a
. Há infinitas opções; escolho um
conveniente para obter um vetor simples.
Passo 5
Escolho
(é uma escolha simples; poderia escolher
também). Com
temos
Portanto um vetor perpendicular a
é
Passo 6
Verifico o produto escalar para confirmar:
logo estão realmente perpendiculares. Observações úteis para a prova: qualquer múltiplo escalar
com
também é perpendicular. Se quiser o vetor unitário perpendicular, calculo a norma de
:
então o vetor unitário perpendicular é