Produtos escalar e vetorial
Considere os seguintes vetores
\begin{aligned} & \vec{a}=(3,2) \\\ & \vec{b}=(-2,3) \end{aligned}
Agora, considere
\vec{c}=(1, \sqrt{3}) \text { e } \vec{d}=(\sqrt{3}, 1)
d) Encontre um vetor perpendicular a c através do produto escalar.

Passo 1

O enunciado dá o vetor \vec{c}=(1,\sqrt{3}) e pede que eu encontre um vetor perpendicular a \vec{c} usando o produto escalar. Informações relevantes que tenho aqui:
\vec{c} tem primeira componente 1 e segunda componente \sqrt{3}.
A pergunta é: encontrar um vetor (qualquer um) que seja perpendicular a \vec{c}.

Passo 2

Vou lembrar o que significa “perpendicular” em termos de produto escalar. Para dois vetores em \mathbb{R}^2,
\vec{u}=(u_1,u_2),\qquad \vec{v}=(v_1,v_2),
o produto escalar é definido por
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2.
Dois vetores são perpendiculares (ortogonais) exatamente quando o produto escalar entre eles é 0. Isso vem da interpretação geométrica do produto escalar, mas aqui basta usar a definição algébrica acima.

Passo 3

Procuro um vetor genérico perpendicular a \vec{c}. Seja
\vec{v}=(x,y),
onde x e y são números reais desconhecidos. A condição de perpendicularidade é
\vec{c}\cdot\vec{v}=0.
Substituindo \vec{c}=(1,\sqrt{3}) e \vec{v}=(x,y) na definição do produto escalar, obtenho a equação
1\cdot x+\sqrt{3}\cdot y=0.

Passo 4

Resolvo a equação obtida para relacionar x e y:
x+\sqrt{3}\,y=0 \quad\Rightarrow\quad x=-\sqrt{3}\,y.
Isso significa que qualquer vetor \vec{v}=(x,y) com x=-\sqrt{3}\,y será perpendicular a \vec{c}. Há infinitas opções; escolho um y conveniente para obter um vetor simples.

Passo 5

Escolho y=-1 (é uma escolha simples; poderia escolher y=1 também). Com y=-1 temos
x=-\sqrt{3}\,(-1)=\sqrt{3}.
Portanto um vetor perpendicular a \vec{c} é
\vec{v}=(\sqrt{3},-1).

Passo 6

Verifico o produto escalar para confirmar:
\vec{c}\cdot\vec{v}=1\cdot\sqrt{3}+\sqrt{3}\cdot(-1)=\sqrt{3}-\sqrt{3}=0,
logo estão realmente perpendiculares. Observações úteis para a prova: qualquer múltiplo escalar t(\sqrt{3},-1) com t\in\mathbb{R} também é perpendicular. Se quiser o vetor unitário perpendicular, calculo a norma de (\sqrt{3},-1):
\|\!(\sqrt{3},-1)\!\|=\sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2}=\sqrt{3+1}=2,
então o vetor unitário perpendicular é
\left(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right).

Resposta

\vec{v}=(\sqrt{3},-1)

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