\left.\int \frac{d x}{3 x^{2}-2 x+4} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \operatorname{arctg}\left(\frac{3 x-1}{\sqrt{11}}\right)+C\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{dx}{3x^{2}-2x+4}.
Informações úteis dadas pelo enunciado:
  • A função a integrar é racional com denominador quadrático 3x^{2}-2x+4.
  • Não há condições adicionais (é uma integral indefinida), então o resultado deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Analisar a natureza do denominador (isso ajuda a escolher o método).
Calcule o discriminante da quadrática 3x^{2}-2x+4:
\Delta = (-2)^{2}-4\cdot 3\cdot 4 = 4-48 = -44.
Como \Delta<0, a quadrática não tem raízes reais e é sempre positiva (coefiiciente de x^2 é 3>0). Isso indica que a integral terá uma forma envolvendo arco-tangente (pois integrais do tipo \int \frac{dx}{x^{2}+a^{2}} dão arctan).

Passo 3

Reescrever o denominador completando o quadrado — passo chave para chegar na forma \int \frac{du}{u^{2}+a^{2}}.
Começamos com
3x^{2}-2x+4.
Fatoramos 3 e completamos o quadrado dentro:
3x^{2}-2x+4 = 3\!\left(x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}\right).
Agora complete o quadrado para x^{2}-\dfrac{2}{3}x:
x^{2}-\frac{2}{3}x = \left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}-\left(\frac{1}{3}\right)^{2} = \left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}-\frac{1}{9}.
Substituindo:
x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{4}{3} = \left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}-\frac{1}{9}+\frac{4}{3} = \left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}+\frac{11}{9}.
Portanto
3x^{2}-2x+4 = 3\!\left(\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}+\frac{11}{9}\right).

Passo 4

Substitua essa forma na integral e simplifique constantes:
\int \frac{dx}{3x^{2}-2x+4} = \int \frac{dx}{3\!\left(\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}+\dfrac{11}{9}\right)} = \frac{1}{3}\int \frac{dx}{\left(x-\dfrac{1}{3}\right)^{2}+\dfrac{11}{9}}.
Identifique a constante \dfrac{11}{9} como um quadrado:
\frac{11}{9}=\left(\frac{\sqrt{11}}{3}\right)^{2}.
Logo a integral fica na forma
\frac{1}{3}\int \frac{dx}{\left(x-\dfrac{1}{3}\right)^{2}+\left(\dfrac{\sqrt{11}}{3}\right)^{2}}.

Passo 5

Lembrar a fórmula padrão e a razão por trás dela.
Fórmula padrão:
\int \frac{du}{u^{2}+a^{2}} = \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{u}{a}\right)+C,
onde a>0. Breve justificativa (derivação rápida): a derivada de \arctan(t) é \dfrac{1}{1+t^{2}}. Fazendo t=\dfrac{u}{a} e aplicando cadeia, obtém-se a fórmula acima.

Passo 6

Faça a substituição simples para aplicar a fórmula: seja u=x-\dfrac{1}{3}. Então du=dx e a integral torna-se
\frac{1}{3}\int \frac{du}{u^{2}+\left(\dfrac{\sqrt{11}}{3}\right)^{2}}.
Aplicando a fórmula com a=\dfrac{\sqrt{11}}{3} temos
\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{u}{a}\right)+C.
Calculando o coeficiente \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{11}/3}=\dfrac{1}{\sqrt{11}} e lembrando u=x-\dfrac{1}{3}, obtemos a forma final (ver seção de resposta).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{\sqrt{11}}\arctan\!\left(\frac{3x-1}{\sqrt{11}}\right)+C

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