Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações úteis dadas pelo enunciado:
- A função a integrar é racional com denominador quadrático
. - Não há condições adicionais (é uma integral indefinida), então o resultado deve conter a constante de integração
.
Passo 2
Analisar a natureza do denominador (isso ajuda a escolher o método).
Calcule o discriminante da quadrática :
Calcule o discriminante da quadrática
Como
, a quadrática não tem raízes reais e é sempre positiva (coefiiciente de
é
). Isso indica que a integral terá uma forma envolvendo arco-tangente (pois integrais do tipo
dão arctan).
Passo 3
Reescrever o denominador completando o quadrado — passo chave para chegar na forma
.
Começamos com
Começamos com
Fatoramos
e completamos o quadrado dentro:
Agora complete o quadrado para
:
Substituindo:
Portanto
Passo 4
Substitua essa forma na integral e simplifique constantes:
Identifique a constante
como um quadrado:
Logo a integral fica na forma
Passo 5
Lembrar a fórmula padrão e a razão por trás dela.
Fórmula padrão:
Fórmula padrão:
onde
. Breve justificativa (derivação rápida): a derivada de
é
. Fazendo
e aplicando cadeia, obtém-se a fórmula acima.
Passo 6
Faça a substituição simples para aplicar a fórmula: seja
. Então
e a integral torna-se
Aplicando a fórmula com
temos
Calculando o coeficiente
e lembrando
, obtemos a forma final (ver seção de resposta).