\int \frac{\left(6 x^{4}-5 x^{3}+4 x^{2}\right) d x}{2 x^{2}-x+1} \quad \ldots \ldots \ldots .\left(\right. resp. \left.\quad x^{3}-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{4} \ln \left|2 x^{2}-x+1\right|+\frac{1}{2 \sqrt{7}} \operatorname{arctg}\left(\frac{4 x-1}{\sqrt{7}}\right)+C\right)

Passo 1

O que o exercício pede: calcular a integral indefinida
\int \frac{6x^{4}-5x^{3}+4x^{2}}{2x^{2}-x+1}\,dx.
Informações dadas (tudo que vem do enunciado):
  • Numerador: 6x^{4}-5x^{3}+4x^{2}.
  • Denominador: 2x^{2}-x+1.
  • É uma integral de função racional (fração de polinômios): grau do numerador é maior que o do denominador.

Passo 2

Primeiro passo técnico: dividir polinômios para escrever a integranda como soma de um polinômio (fácil de integrar) mais uma fração própria (grau do numerador menor que o do denominador).
Fazendo a divisão de (6x^{4}-5x^{3}+4x^{2}) por (2x^{2}-x+1):
  • Primeiro termo do quociente: \dfrac{6x^{4}}{2x^{2}}=3x^{2}. Multiplicando:
3x^{2}\cdot(2x^{2}-x+1)=6x^{4}-3x^{3}+3x^{2}.
Subtraindo do numerador original:
(6x^{4}-5x^{3}+4x^{2})-(6x^{4}-3x^{3}+3x^{2})=-2x^{3}+x^{2}.
  • Próximo termo do quociente: \dfrac{-2x^{3}}{2x^{2}}=-x. Multiplicando:
(-x)\cdot(2x^{2}-x+1)=-2x^{3}+x^{2}-x.
Subtraindo:
(-2x^{3}+x^{2})-(-2x^{3}+x^{2}-x)=x.
Não há termos de grau inferior para continuar, e o resto x tem grau menor que o divisor (grau 1<2). Logo a divisão resulta em
\frac{6x^{4}-5x^{3}+4x^{2}}{2x^{2}-x+1}=3x^{2}-x+\frac{x}{2x^{2}-x+1}.

Passo 3

Agora a integral separa-se em partes fáceis:
\int \frac{6x^{4}-5x^{3}+4x^{2}}{2x^{2}-x+1}\,dx = \int(3x^{2}-x)\,dx + \int \frac{x}{2x^{2}-x+1}\,dx.
Integramos a parte polinomial imediatamente:
\int(3x^{2}-x)\,dx = x^{3}-\frac{1}{2}x^{2} + C_1.
(Explicando rápido: \int x^n dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}; aqui \int 3x^2 dx = 3\cdot \dfrac{x^3}{3}=x^3 e \int -x\,dx = -\dfrac{x^2}{2}.)

Passo 4

Falta calcular
I:=\int \frac{x}{2x^{2}-x+1}\,dx.
Estratégia comum e útil: decompor o numerador como combinação da derivada do denominador mais uma constante. A derivada do denominador é
\frac{d}{dx}(2x^{2}-x+1)=4x-1.
Queremos escrever x na forma x = A(4x-1)+B. Resolvendo os coeficientes:
4A = 1 \Rightarrow A=\tfrac{1}{4},\qquad B-A=0 \Rightarrow B=\tfrac{1}{4}.
Portanto
x=\frac{1}{4}(4x-1)+\frac{1}{4}.
Isso permite dividir I em duas integrais mais simples:
I=\frac{1}{4}\int\frac{4x-1}{2x^{2}-x+1}\,dx+\frac{1}{4}\int\frac{1}{2x^{2}-x+1}\,dx.

Passo 5

A primeira integral do lado direito é imediata porque (4x-1) é a derivada do denominador:
\frac{1}{4}\int\frac{4x-1}{2x^{2}-x+1}\,dx=\frac{1}{4}\ln\big|2x^{2}-x+1\big| + C_2.
(Regra: \int \dfrac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C. Aqui u=2x^{2}-x+1 e u'=4x-1.)

Passo 6

Resta a integral
J:=\frac{1}{4}\int\frac{1}{2x^{2}-x+1}\,dx.
Para integrá-la completamos o quadrado no denominador. Primeiro escrevemos:
2x^{2}-x+1 = 2\Bigl(x^{2}-\tfrac{1}{2}x+\tfrac{1}{2}\Bigr).
Complete o quadrado em x^{2}-\tfrac{1}{2}x:
x^{2}-\tfrac{1}{2}x = \Bigl(x-\tfrac{1}{4}\Bigr)^{2} - \tfrac{1}{16}.
Então
x^{2}-\tfrac{1}{2}x+\tfrac{1}{2} = \Bigl(x-\tfrac{1}{4}\Bigr)^{2} + \tfrac{7}{16},
e assim
2x^{2}-x+1 = 2\Bigl(x-\tfrac{1}{4}\Bigr)^{2} + \frac{7}{8}.
Façamos a substituição t=x-\tfrac{1}{4}, com dt=dx. Então
J=\frac{1}{4}\int\frac{1}{2t^{2}+\tfrac{7}{8}}\,dt.
Colocando em forma conveniente:
2t^{2}+\tfrac{7}{8}=\tfrac{1}{8}(16t^{2}+7),
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J=\frac{1}{4}\int\frac{1}{\tfrac{1}{8}(16t^{2}+7)}\,dt =\frac{1}{4}\cdot 8\int\frac{1}{16t^{2}+7}\,dt =2\int\frac{1}{16t^{2}+7}\,dt.
Agora use a fórmula padrão \displaystyle \int\frac{du}{u^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\!\bigl(\tfrac{u}{a}\bigr)+C.
No integrando temos 16t^{2}+7=(4t)^{2}+(\sqrt{7})^{2}. Faça u=4t, então du=4dt e dt=\dfrac{du}{4}:
\int\frac{1}{16t^{2}+7}\,dt =\int\frac{1}{u^{2}+7}\cdot\frac{du}{4} =\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{\sqrt{7}}\arctan\!\left(\frac{u}{\sqrt{7}}\right)+C =\frac{1}{4\sqrt{7}}\arctan\!\left(\frac{4t}{\sqrt{7}}\right)+C.
Multiplicando por 2 (recordando J=2 vezes essa integral) obtemos
J=2\cdot\frac{1}{4\sqrt{7}}\arctan\!\left(\frac{4t}{\sqrt{7}}\right) =\frac{1}{2\sqrt{7}}\arctan\!\left(\frac{4\bigl(x-\tfrac{1}{4}\bigr)}{\sqrt{7}}\right).
Simplificando 4\bigl(x-\tfrac{1}{4}\bigr)=4x-1, chega-se a
J=\frac{1}{2\sqrt{7}}\arctan\!\left(\frac{4x-1}{\sqrt{7}}\right)+C_3.

Passo 7

Reunindo todas as parcelas que encontramos:
  • Parte polinomial: x^{3}-\dfrac{1}{2}x^{2}.
  • Do I: \dfrac{1}{4}\ln\big|2x^{2}-x+1\big|.
  • Do J: \dfrac{1}{2\sqrt{7}}\arctan\!\bigl(\dfrac{4x-1}{\sqrt{7}}\bigr).
Portanto a integral original é
x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{4}\ln\big|2x^{2}-x+1\big|+\frac{1}{2\sqrt{7}}\arctan\!\left(\frac{4x-1}{\sqrt{7}}\right)+C.

Resposta

x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{4}\ln\left|2x^{2}-x+1\right|+\frac{1}{2\sqrt{7}}\arctan\left(\frac{4x-1}{\sqrt{7}}\right)+C

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