O que o exercício pede: calcular a integral indefinida
\int \frac{6x^{4}-5x^{3}+4x^{2}}{2x^{2}-x+1}\,dx.
Informações dadas (tudo que vem do enunciado):
Numerador: 6x^{4}-5x^{3}+4x^{2}.
Denominador: 2x^{2}-x+1.
É uma integral de função racional (fração de polinômios): grau do numerador é maior que o do denominador.
Passo 2
Primeiro passo técnico: dividir polinômios para escrever a integranda como soma de um polinômio (fácil de integrar) mais uma fração própria (grau do numerador menor que o do denominador).
Fazendo a divisão de (6x^{4}-5x^{3}+4x^{2}) por (2x^{2}-x+1):
Primeiro termo do quociente: \dfrac{6x^{4}}{2x^{2}}=3x^{2}. Multiplicando:
Agora use a fórmula padrão \displaystyle \int\frac{du}{u^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\!\bigl(\tfrac{u}{a}\bigr)+C.
No integrando temos 16t^{2}+7=(4t)^{2}+(\sqrt{7})^{2}. Faça u=4t, então du=4dt e dt=\dfrac{du}{4}: