Questão 1. (Gpts) Encontre o domínio e a imagem de cada função
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre a função
: encontrar o domínio e encontrar a imagem (conjunto de valores que
assume). A função dada é
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão envolve uma raiz quadrada
. - A raiz quadrada exige que o radicando seja não negativo.
- Além disso, como a raiz aparece no denominador, não podemos ter denominador igual a zero.
Não vou resolver ainda; só destaquei o que o enunciado pede e os dados importantes.
Passo 2
Regras que valem aqui (explicação didática):
- A função
está definida para . Isso significa que o radicando deve ser maior ou igual a zero. - Porém, se
aparece no denominador, precisamos também garantir que , porque dividir por zero é proibido.
Aplicando essas regras ao radicando, concluímos que devemos ter
Note que usamos
e não
por causa do denominador.
Passo 3
Agora resolvemos a desigualdade passo a passo (mostrando a álgebra):
Partimos de
Partimos de
Somamos
em ambos os lados:
Dividimos ambos os lados por
(positivo, então a desigualdade não troca de sinal):
Passo 4
Simplificamos a fração
:
Portanto temos
Para resolver
com
, a solução é
. Aplicando aqui,
Podemos escrever
de forma conveniente:
pois
.
Passo 5
Convertendo
em intervalo, obtemos o domínio:
Isso é o conjunto de todos os
tais que o radicando é positivo, garantindo raiz real e denominador não nulo.
Passo 6
Agora vamos à imagem (faça comigo devagar e sem pânico).
Primeiro observação simples: para todo do domínio a raiz
é estritamente positiva e o numerador
é positivo. Logo
para todo
do domínio. Assim a imagem está contida em
.
Primeiro observação simples: para todo
Passo 7
Para descobrir se todos os valores positivos ocorrem, analisamos os limites extremos da função:
- Comportamento quando
: para grande temos e
Então
Isso mostra que
pode assumir valores arbitrariamente próximos de
, mas nunca
exatamente.
Passo 8
- Comportamento quando
se aproxima da fronteira do domínio: tome (aproximação pelo lado direito) ou (pelo lado esquerdo). Nesse caso , então e, portanto,
Ou seja,
pode ficar arbitrariamente grande.
Passo 9
Combinando os dois comportamentos:
-
é sempre positivo; -
pode ser tão pequeno quanto quisermos (tendendo a ) quando é muito grande; -
pode ser tão grande quanto quisermos (tendendo a ) quando se aproxima da fronteira do domínio.
Portantoassume todos os valores em . A imagem é o intervalo aberto .
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: