Questão 1. (Gpts) Encontre o domínio e a imagem de cada função
f(x)=\frac{7}{\sqrt{9 x^{2}-57}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a função f: encontrar o domínio e encontrar a imagem (conjunto de valores que f assume). A função dada é
f(x)=\frac{7}{\sqrt{9 x^{2}-57}}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão envolve uma raiz quadrada \sqrt{9x^{2}-57}.
  • A raiz quadrada exige que o radicando seja não negativo.
  • Além disso, como a raiz aparece no denominador, não podemos ter denominador igual a zero.
    Não vou resolver ainda; só destaquei o que o enunciado pede e os dados importantes.

Passo 2

Regras que valem aqui (explicação didática):
  • A função \sqrt{A} está definida para A\ge 0. Isso significa que o radicando deve ser maior ou igual a zero.
  • Porém, se \sqrt{A} aparece no denominador, precisamos também garantir que \sqrt{A}\neq 0, porque dividir por zero é proibido.
    Aplicando essas regras ao radicando 9x^{2}-57, concluímos que devemos ter
9x^{2}-57>0.
Note que usamos > e não \ge por causa do denominador.

Passo 3

Agora resolvemos a desigualdade passo a passo (mostrando a álgebra):
Partimos de
9x^{2}-57>0.
Somamos 57 em ambos os lados:
9x^{2}>57.
Dividimos ambos os lados por 9 (positivo, então a desigualdade não troca de sinal):
x^{2}>\frac{57}{9}.

Passo 4

Simplificamos a fração \dfrac{57}{9}:
\frac{57}{9}=\frac{19}{3}.
Portanto temos
x^{2}>\frac{19}{3}.
Para resolver x^{2}>a com a>0, a solução é |x|>\sqrt{a}. Aplicando aqui,
|x|>\sqrt{\frac{19}{3}}.
Podemos escrever \sqrt{\frac{19}{3}} de forma conveniente:
\sqrt{\frac{19}{3}}=\frac{\sqrt{57}}{3},
pois \sqrt{19/3}=\sqrt{19}/\sqrt{3}=(\sqrt{19}\sqrt{3})/3=\sqrt{57}/3.

Passo 5

Convertendo |x|>\dfrac{\sqrt{57}}{3} em intervalo, obtemos o domínio:
x\in\left(-\infty,-\frac{\sqrt{57}}{3}\right)\cup\left(\frac{\sqrt{57}}{3},+\infty\right).
Isso é o conjunto de todos os x tais que o radicando é positivo, garantindo raiz real e denominador não nulo.

Passo 6

Agora vamos à imagem (faça comigo devagar e sem pânico).
Primeiro observação simples: para todo x do domínio a raiz \sqrt{9x^{2}-57} é estritamente positiva e o numerador 7 é positivo. Logo f(x)>0 para todo x do domínio. Assim a imagem está contida em (0,+\infty).

Passo 7

Para descobrir se todos os valores positivos ocorrem, analisamos os limites extremos da função:
  • Comportamento quando |x|\to+\infty: para x grande temos 9x^{2}-57\approx 9x^{2} e
\sqrt{9x^{2}-57}\approx 3|x|.
Então
f(x)=\frac{7}{\sqrt{9x^{2}-57}}\approx\frac{7}{3|x|}\to 0^{+}\quad\text{quando }|x|\to+\infty.
Isso mostra que f(x) pode assumir valores arbitrariamente próximos de 0, mas nunca 0 exatamente.

Passo 8

  • Comportamento quando x se aproxima da fronteira do domínio: tome x\to\frac{\sqrt{57}}{3}^{+} (aproximação pelo lado direito) ou x\to-\frac{\sqrt{57}}{3}^{-} (pelo lado esquerdo). Nesse caso 9x^{2}-57\to 0^{+}, então \sqrt{9x^{2}-57}\to 0^{+} e, portanto,
f(x)=\frac{7}{\sqrt{9x^{2}-57}}\to +\infty.
Ou seja, f(x) pode ficar arbitrariamente grande.

Passo 9

Combinando os dois comportamentos:
  • f(x) é sempre positivo;
  • f(x) pode ser tão pequeno quanto quisermos (tendendo a 0^{+}) quando |x| é muito grande;
  • f(x) pode ser tão grande quanto quisermos (tendendo a +\infty) quando x se aproxima da fronteira do domínio.
    Portanto f assume todos os valores em (0,+\infty). A imagem é o intervalo aberto (0,+\infty).

Resposta

Domínio: \left(-\infty,-\dfrac{\sqrt{57}}{3}\right)\cup\left(\dfrac{\sqrt{57}}{3},+\infty\right)
Imagem: (0,+\infty)

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