Questão 1. (Gpts) Encontre o domínio e a imagem de cada função
f(x)=5-\sqrt{2 x-7}

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por
f(x)=5-\sqrt{2x-7}.
Pede-se: encontrar o domínio de f e a imagem (conjunto de valores que f assume).
Informações relevantes do enunciado:
  • A função envolve uma raiz quadrada \sqrt{2x-7}.
  • Não há outras restrições explícitas além da própria expressão.

Passo 2

Conceito chave para o domínio: a expressão dentro da raiz quadrada (o radicando) deve ser maior ou igual a zero, porque a raiz quadrada real não está definida para números negativos. Portanto devemos exigir
2x-7 \ge 0.
Agora resolvemos essa desigualdade passo a passo.

Passo 3

Resolvendo 2x-7 \ge 0:
2x \ge 7
dividindo ambos os lados por 2 (positivo, então a desigualdade não inverte),
x \ge \frac{7}{2}.
Logo todo x maior ou igual a \frac{7}{2} é permitido. Concluímos que o domínio é o intervalo \left[\tfrac{7}{2},\infty\right).

Passo 4

Verificação do extremo: em x=\tfrac{7}{2} o radicando vale zero, \sqrt{0}=0, então a função está bem definida e toma o valor
f\!\left(\frac{7}{2}\right)=5-0=5,
portanto o valor 5 pertence à imagem.

Passo 5

Agora vamos determinar a imagem. Ideia intuitiva (explicada): a função \sqrt{2x-7} é crescente para x\ge \tfrac{7}{2}. Subtrair essa quantidade de 5 (ou seja, considerar 5-\sqrt{2x-7}) produz uma função decrescente: o menor x do domínio dá o maior valor de f, e conforme x\to\infty a raiz cresce sem limite e f(x) tende a -\infty. Assim a função tem máximo em x=\tfrac{7}{2} igual a 5 e não tem limite inferior finito, portanto a imagem é do tipo (-\infty,5].

Passo 6

Método alternativo (mais algébrico) para provar que todo y\le 5 é atingido: suponha y é um valor de saída, escreva
y=5-\sqrt{2x-7}.
Rearranjando,
\sqrt{2x-7}=5-y.
Para que a raiz real exista precisamos de 5-y\ge 0, isto é y\le 5. Elevando ao quadrado (com cuidado: já temos 5-y\ge0, então é equivalente)
2x-7=(5-y)^2.
Isolando x,
x=\frac{(5-y)^2+7}{2}.
Como (5-y)^2\ge 0 segue que esse x satisfaz x\ge \tfrac{7}{2}, logo pertence ao domínio. Portanto, para todo y\le 5 existe x no domínio que produz esse y. Isso mostra rigorosamente que a imagem é exatamente (-\infty,5].

Passo 7

Exemplos numéricos rápidos para consolidar:
f\!\left(\frac{7}{2}\right)=5,
f(5)=5-\sqrt{2\cdot 5-7}=5-\sqrt{3}\approx 3{,}268,
e para x muito grande, por exemplo x=100,
f(100)=5-\sqrt{200-7}=5-\sqrt{193}\approx -8{,}89,
mostrando que valores arbitrariamente negativos aparecem, compatível com (-\infty,5].

Resposta

Domínio: \left[\tfrac{7}{2},\infty\right)
Imagem: (-\infty,5]

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