Questão 1. (Gpts) Encontre o domínio e a imagem de cada função
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
Pede-se: encontrar o domínio de
e a imagem (conjunto de valores que
assume).
Informações relevantes do enunciado:
- A função envolve uma raiz quadrada
. - Não há outras restrições explícitas além da própria expressão.
Passo 2
Conceito chave para o domínio: a expressão dentro da raiz quadrada (o radicando) deve ser maior ou igual a zero, porque a raiz quadrada real não está definida para números negativos. Portanto devemos exigir
Agora resolvemos essa desigualdade passo a passo.
Passo 3
Resolvendo
:
dividindo ambos os lados por
(positivo, então a desigualdade não inverte),
Logo todo
maior ou igual a
é permitido. Concluímos que o domínio é o intervalo
.
Passo 4
Verificação do extremo: em
o radicando vale zero,
, então a função está bem definida e toma o valor
portanto o valor
pertence à imagem.
Passo 5
Agora vamos determinar a imagem. Ideia intuitiva (explicada): a função
é crescente para
. Subtrair essa quantidade de
(ou seja, considerar
) produz uma função decrescente: o menor
do domínio dá o maior valor de
, e conforme
a raiz cresce sem limite e
tende a
. Assim a função tem máximo em
igual a
e não tem limite inferior finito, portanto a imagem é do tipo
.
Passo 6
Método alternativo (mais algébrico) para provar que todo
é atingido: suponha
é um valor de saída, escreva
Rearranjando,
Para que a raiz real exista precisamos de
, isto é
. Elevando ao quadrado (com cuidado: já temos
, então é equivalente)
Isolando
,
Como
segue que esse
satisfaz
, logo pertence ao domínio. Portanto, para todo
existe
no domínio que produz esse
. Isso mostra rigorosamente que a imagem é exatamente
.
Passo 7
Exemplos numéricos rápidos para consolidar:
e para
muito grande, por exemplo
,
mostrando que valores arbitrariamente negativos aparecem, compatível com
.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: