Seja f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} uma função diferenciável no ponto (-3,2). Suponha que f(-3,2)=1 e que o plano
\pi: 3 x-5 y+2 z=2014
seja paralelo ao plano tangente ao gráfico de f no ponto ( -3,2,1 ). Determine:
(a) \nabla f(-3,2);
(b) \frac{\partial f}{\partial v}(-3,2), onde v=(2,-1);
(c)
onde x(t)=2 e^{-t}-5 \cos t+4 t^{2} e y(t)=t^{5}+t^{3}+6 \ln (1+t)+\tan t+2;
(d) g_{u}(0,1) \mathrm{e} \frac{\partial g}{\partial v}(0,1), onde g(u, v)=f\left(u^{4}-3 v, e^{2 u}+v^{2}\right).
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e perguntas:
Informações dadas:
f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} é diferenciável no ponto (-3,2).
f(-3,2)=1.
O plano \pi é dado por \displaystyle 3x-5y+2z=2014.
O plano \pi é paralelo ao plano tangente ao gráfico de f no ponto (-3,2,1).
Perguntas:
(a) Determinar \nabla f(-3,2).
(b) Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial v}(-3,2), onde v=(2,-1).
(c) Calcular \displaystyle \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}\{3t+f(x(t),y(t))\}^{2} com x(t)=2e^{-t}-5\cos t+4t^{2} e y(t)=t^{5}+t^{3}+6\ln(1+t)+\tan t+2.
(d) Calcular g_{u}(0,1) e \displaystyle \frac{\partial g}{\partial v}(0,1) para g(u,v)=f\big(u^{4}-3v,\;e^{2u}+v^{2}\big).
A partir daqui vamos resolver passo a passo cada item, explicando as fórmulas usadas.
Passo 2
Determinar \nabla f(-3,2) usando a informação sobre o plano tangente paralelo a \pi.
Lembrando uma fórmula básica (explicação): o gráfico de f é a superfície z=f(x,y). O plano tangente a essa superfície no ponto (x_0,y_0,z_0) (com z_0=f(x_0,y_0)) tem equação
Conclusão do item (a): \displaystyle \nabla f(-3,2)=\left(-\dfrac{3}{2},\dfrac{5}{2}\right).
Passo 3
Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial v}(-3,2) para v=(2,-1).
Explicação do conceito: a derivada direcional de f na direção de um vetor v (quando se toma a direção como versor — i.e. vetor unitário) é dada por
D_{u}f(x_0,y_0)=\nabla f(x_0,y_0)\cdot u,
onde u=\dfrac{v}{\|v\|} é o vetor de direção normalizado. Se alguém usar D_v f com v não unitário, convém esclarecer; aqui vamos usar a definição padrão com vetor unitário (isto é o que se costuma chamar de \partial f/\partial v).
Primeiro calcule \|v\|:
\|v\|=\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}.
O versor na direção de v é u=\dfrac{1}{\sqrt{5}}(2,-1).
Usando o gradiente obtido no passo anterior:
\nabla f(-3,2)\cdot u = \left(-\dfrac{3}{2},\dfrac{5}{2}\right)\cdot \dfrac{1}{\sqrt{5}}(2,-1).
Calcular \displaystyle \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}\{3t+f(x(t),y(t))\}^{2} com x(t)=2e^{-t}-5\cos t+4t^{2} e y(t)=t^{5}+t^{3}+6\ln(1+t)+\tan t+2.
Defina H(t)=\{3t+f(x(t),y(t))\}^{2}. Para derivar H usamos a regra da cadeia e a regra do produto composto: se H(t)=\big(I(t)\big)^{2}, então H'(t)=2I(t)\cdot I'(t).
Agora substitua em H'(0). Temos I(0)=3\cdot 0 + f(x(0),y(0)) = f(-3,2)=1. E I'(0)=3 + \dfrac{41}{2} = \dfrac{6}{2}+\dfrac{41}{2}=\dfrac{47}{2}.
Então
H'(0) = 2\cdot 1 \cdot \dfrac{47}{2} = 47.
Passo 5
Calcular g_{u}(0,1) e \displaystyle \frac{\partial g}{\partial v}(0,1) para g(u,v)=f\big(a(u,v),\,b(u,v)\big) com a(u,v)=u^{4}-3v e b(u,v)=e^{2u}+v^{2}.
Regra da cadeia para derivadas parciais (explicação): se g(u,v)=f\big(a(u,v),b(u,v)\big), então