Encontre a solução geral dos seguintes problemas de valor inicial:
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}=\frac{\ln x}{1+y^{2}} \\\ y(1)=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y' = \frac{\ln(x)}{1+y^2}
com a condição inicial y(1)=0.
O conteúdo é equação separável, e vamos precisar isolar y e x em lados distintos e depois integrar.

Passo 2

Separamos as variáveis escrevendo
(1+y^2)\,dy = \ln(x)\,dx.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados.
\int (1+y^2)\,dy = \int \ln(x)\,dx.
No lado esquerdo
\int (1+y^2)\,dy = y + \frac{y^3}{3},
e no direito usamos integração por partes:
\int \ln(x)\,dx = x\ln(x) - x.
Logo obtemos a relação implícita
y + \frac{y^3}{3} = x\ln(x) - x + C.

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(1)=0. Substituindo x=1 e y=0 em
0 + \frac{0^3}{3} = 1\cdot\ln(1) - 1 + C
vem
0 = 0 - 1 + C\quad\Longrightarrow\quad C = 1.

Passo 5

Substituindo C=1 na solução implícita, temos a solução particular do PVI:
y + \frac{y^3}{3} = x\ln(x) - x + 1.

Resposta

y + \frac{y^3}{3} = x\ln(x) - x + 1.

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