If
, prove that
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para provar a identidade
Informações relevantes que temos desde o enunciado:
-
é uma função de dada por . - O domínio de
exclui os pontos onde (pois aí não está definida). - A tarefa é relacionar derivadas de
com expressões em .
Passo 2
Vamos achar a primeira derivada
. Uma forma didática é usar a definição de
como quociente:
Aplicando a regra do quociente (se
e
, então
) obtemos:
Como
, isso simplifica para
Passo 3
Agora escrevemos
em termos de
. Usando a identidade
e lembrando que
, obtemos
Breve explicação da regra usada: a identidade trigonométrica
vem de dividir
por
.
Passo 4
Precisamos da segunda derivada
. Como
e aqui
, ao derivar usamos a regra da cadeia: a derivada de
em relação a
é
. Assim,
Agora substituímos
(do Passo 3):
Observação alternativa (mesma conclusão): derivando
diretamente com a regra da cadeia ou do produto:
e substituindo
e
chega-se novamente a
.
Passo 5
Comparando com a identidade que o enunciado pede para provar,
vemos que a expressão correta encontrada (no Passo 4) é
Para verificar que a afirmação do enunciado é falsa, basta um contraexemplo numérico simples: escolha
. Então
, ou seja
. Pela expressão correta,
Mas a expressão reclamada daria
que não é
. Portanto a identidade dada no enunciado é falsa (não vale para
, logo não vale em geral).
Passo 6
Podemos também mostrar algebraicamente que as duas expressões não podem ser iguais para nenhum valor real de
. Se assumíssemos igualdade
dividindo por
(que nunca é zero para
real) obteríamos
O discriminante dessa quadrática é
, logo não há solução real. Isso confirma que a igualdade proposta é impossível para qualquer
.
Passo 7
Conclusão didática: a derivada correta de segunda ordem de
é
. A expressão dada no enunciado é incorreta; foi provado por cálculo direto e por contradição numérica/algebraica.