If y=\tan x, prove that y^{\prime \prime}=2\left(1+y^{2}\right)\left(1+3 y^{2}\right).

Passo 1

O enunciado dá a função \,y=\tan x e pede para provar a identidade
y''=2\bigl(1+y^{2}\bigr)\bigl(1+3y^{2}\bigr).
Informações relevantes que temos desde o enunciado:
  • \,y é uma função de \,x dada por \,y(x)=\tan x.
  • O domínio de \tan x exclui os pontos onde \cos x=0 (pois aí \tan x não está definida).
  • A tarefa é relacionar derivadas de \,y com expressões em y.

Passo 2

Vamos achar a primeira derivada \,y'. Uma forma didática é usar a definição de \tan x como quociente:
\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}.
Aplicando a regra do quociente (se u=\sin x e v=\cos x, então \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{u}{v}\right)=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}) obtemos:
\frac{d}{dx}\bigl(\tan x\bigr) = \frac{\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^{2}x} = \frac{\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\cos^{2}x}.
Como \cos^{2}x+\sin^{2}x=1, isso simplifica para
\frac{d}{dx}\bigl(\tan x\bigr)=\frac{1}{\cos^{2}x}=\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 3

Agora escrevemos \,y' em termos de y. Usando a identidade \operatorname{sec}^{2}x=1+\tan^{2}x e lembrando que \tan x=y, obtemos
y'=\operatorname{sec}^{2}x=1+\tan^{2}x=1+y^{2}.
Breve explicação da regra usada: a identidade trigonométrica \operatorname{sec}^{2}x=1+\tan^{2}x vem de dividir \sin^{2}x+\cos^{2}x=1 por \cos^{2}x.

Passo 4

Precisamos da segunda derivada y''=\dfrac{d}{dx}(y'). Como \,y'=1+y^{2} e aqui y=y(x), ao derivar usamos a regra da cadeia: a derivada de y^{2} em relação a x é 2y\cdot y'. Assim,
y''=\frac{d}{dx}\bigl(1+y^{2}\bigr)=0+2y\cdot y'=2y\,y'.
Agora substituímos y'=1+y^{2} (do Passo 3):
y''=2y\bigl(1+y^{2}\bigr).
Observação alternativa (mesma conclusão): derivando \,y'=\operatorname{sec}^{2}x diretamente com a regra da cadeia ou do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec}^{2}x\bigr)=2\operatorname{sec} x\cdot\frac{d}{dx}(\operatorname{sec} x) =2\operatorname{sec} x\cdot(\operatorname{sec} x\tan x)=2\operatorname{sec}^{2}x\tan x,
e substituindo \operatorname{sec}^{2}x=1+y^{2} e \tan x=y chega-se novamente a \,y''=2y(1+y^{2}).

Passo 5

Comparando com a identidade que o enunciado pede para provar,
\text{reivindicação:}\qquad y''=2\bigl(1+y^{2}\bigr)\bigl(1+3y^{2}\bigr),çã
vemos que a expressão correta encontrada (no Passo 4) é
y''=2y\bigl(1+y^{2}\bigr).
Para verificar que a afirmação do enunciado é falsa, basta um contraexemplo numérico simples: escolha x=0. Então \tan 0=0, ou seja \,y=0. Pela expressão correta,
y''(0)=2\cdot 0\cdot(1+0^{2})=0.
Mas a expressão reclamada daria
2(1+0^{2})(1+3\cdot0^{2})=2\cdot1\cdot1=2,
que não é 0. Portanto a identidade dada no enunciado é falsa (não vale para x=0, logo não vale em geral).

Passo 6

Podemos também mostrar algebraicamente que as duas expressões não podem ser iguais para nenhum valor real de y. Se assumíssemos igualdade
2y(1+y^{2})=2(1+y^{2})(1+3y^{2}),
dividindo por 2(1+y^{2}) (que nunca é zero para y real) obteríamos
y=1+3y^{2}\quad\Longrightarrow\quad 3y^{2}-y+1=0.
O discriminante dessa quadrática é \Delta=(-1)^{2}-4\cdot3\cdot1=1-12=-11<0, logo não há solução real. Isso confirma que a igualdade proposta é impossível para qualquer y\in\mathbb{R}.

Passo 7

Conclusão didática: a derivada correta de segunda ordem de y=\tan x é \,y''=2y(1+y^{2}). A expressão dada no enunciado é incorreta; foi provado por cálculo direto e por contradição numérica/algebraica.

Resposta

\,y''=2y\bigl(1+y^{2}\bigr)

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