A frase do livro texto “derivação e integração são processos inversos” justifica a igualdade
Ou esta igualdade não está correta? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pergunta se a frase “derivação e integração são processos inversos” justifica a igualdade
O conteúdo envolvido é o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra de Leibniz para diferenciação de integrais com limites variáveis.
Passo 2
Observe que, quando os limites
e
são fixos,
é uma constante em relação a
. A variável
dentro do integral é “variável de integração” e não tem ligação com o ponto em que derivamos.
Passo 3
Como a integral é uma constante, sua derivada é zero. Ou seja,
e não
.
Passo 4
O Teorema Fundamental do Cálculo, na forma usual, afirma que se definirmos
então
Aqui o limite superior do integral depende de
, e o teorema garante que derivar esse integral “recupera”
.
Passo 5
Mais geralmente, a regra de Leibniz diz que, para
temos
Se
e
são constantes, então
. Se
e
, então
.
Passo 6
Portanto, a igualdade
não está correta, porque o integral com limites fixos é constante. A forma correta de “inverter” derivação e integração é
Resposta
Não, a igualdade não está correta. Quando os limites são fixos,
é constante e sua derivada é zero. A relação “derivada do integral é a função” vale somente para
.