A frase do livro texto “derivação e integração são processos inversos” justifica a igualdade
dd x(integrala^b f(x) d x)=f(x) ?
Ou esta igualdade não está correta? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pergunta se a frase “derivação e integração são processos inversos” justifica a igualdade
ddxgl(integrala^bf(x),dxgr)=f(x)
O conteúdo envolvido é o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra de Leibniz para diferenciação de integrais com limites variáveis.

Passo 2

Observe que, quando os limites a e b são fixos,
integrala^bf(x),dx
é uma constante em relação a x. A variável x dentro do integral é “variável de integração” e não tem ligação com o ponto em que derivamos.

Passo 3

Como a integral é uma constante, sua derivada é zero. Ou seja,
ddxgl(integrala^bf(x),dxgr)=0,
e não f(x).

Passo 4

O Teorema Fundamental do Cálculo, na forma usual, afirma que se definirmos
F(x)=integrala^xf(t),dt,
então
F'(x)=f(x)
Aqui o limite superior do integral depende de x, e o teorema garante que derivar esse integral “recupera” f(x).

Passo 5

Mais geralmente, a regra de Leibniz diz que, para
G(x)=integralu(x)^v(x)f(t),dt,
temos
G'(x)=fl(v(x)r),v'(x);-;fl(u(x)r),u'(x)
Se u(x)=a e v(x)=b são constantes, então G'(x)=0. Se u(x)=a e v(x)=x, então G'(x)=f(x).

Passo 6

Portanto, a igualdade
ddxgl(integrala^bf(x),dxgr)=f(x)
não está correta, porque o integral com limites fixos é constante. A forma correta de “inverter” derivação e integração é
ddx(integrala^xf(t),dt)=f(x)

Resposta

Não, a igualdade não está correta. Quando os limites são fixos, integrala^bf(x),dx é constante e sua derivada é zero. A relação “derivada do integral é a função” vale somente para ddxl(integrala^xf(t),dtr)=f(x).

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