Um grupo de pesquisa militar analiza diferentes modelos para um missil propulsado com energia solar. Certo modelo faz com que após o lançamento, a velocidade
do missil, em metros por segundo, varie segundo a equação diferencial
onde
é uma constante relacionada às especificações técnicas do modelo.
(a) (2.0 pontos) Determine, classifique e interprete as soluções de equilibrio da equação diferencial considerando
.
(b) (1.0 pontos) Se o missil tem uma velocidade inicial de 250 metros por segundos, existe algum valor de
que garanta que o missil airá atingir 300 por segundo em algum momento? Explique.
(a) (2.0 pontos) Determine, classifique e interprete as soluções de equilibrio da equação diferencial considerando
(b) (1.0 pontos) Se o missil tem uma velocidade inicial de 250 metros por segundos, existe algum valor de
Passo 1
O enunciado considera a equação diferencial
que descreve a velocidade
de um míssil. Em (a) tomamos
e queremos encontrar e classificar os equilíbrios (raízes de
) e interpretar seu significado físico. Em (b) analisamos, para condição inicial
, se existe algum
que garanta que em algum instante
. Para isso usaremos análise de estabilidade via sinal de
e condições para que a derivada seja positiva em
.
Passo 2
Com
, as soluções de equilíbrio satisfazem
Logo as raízes são
Passo 3
Para classificar a estabilidade, examinamos o sinal de
nos intervalos definidos por
,
e
. Observamos:
Para temos
e
, de modo que
: as soluções se afastam de
vindo da esquerda.
Para temos
e
, de modo que
: trajetórias se aproximam de
vindo da esquerda.
Para temos
e
, de modo que
: trajetórias se aproximam de
vindo da direita.
Para temos
e
, de modo que
: trajetórias se afastam de
.
Assim e
são pontos de equilíbrio instáveis (repulsores) e
é um equilíbrio estável (atrator).
Para
Para
Para
Para
Assim
Passo 4
Físicamente,
não faz sentido no modelo (velocidade negativa) e é um ponto repulsor. O míssil tende a um estado de regime permanente
,m/s se sua velocidade inicial estiver entre
e
. Já
é instável: se a velocidade ultrapassar ligeiramente
m/s, o fator
fica negativo e
também fica negativo, fazendo
, ou seja, aceleração contínua e fuga para velocidades altas.
Passo 5
Para
queremos saber se o míssil chega a
m/s. Em qualquer
entre
e
o fator
é negativo. Para que
seja positivo (e, portanto,
aumente até
), é preciso que
Para garantir isso em todo o intervalo
, basta impor
Logo se
, então para
temos sempre
e o míssil atinge
m/s. Se
, então em
já ocorre
e o míssil nunca acelera até
.
Resposta
(a) As soluções de equilíbrio são
,
e
. Os pontos
e
são instáveis (repulsores) e
é estável (atrator). Fisicamente, o míssil tende a
m/s como velocidade de regime, e se ultrapassar
m/s acelera indefinidamente.
(b) Sim. Para que o míssil partindo de m/s acelere até
m/s é necessário e suficiente que
.
(b) Sim. Para que o míssil partindo de