Um grupo de pesquisa militar analiza diferentes modelos para um missil propulsado com energia solar. Certo modelo faz com que após o lançamento, a velocidade V do missil, em metros por segundo, varie segundo a equação diferencial
d Vd t=(200-V)(10000-lambda V^2)
onde lambda é uma constante relacionada às especificações técnicas do modelo.
(a) (2.0 pontos) Determine, classifique e interprete as soluções de equilibrio da equação diferencial considerando lambda=1.
(b) (1.0 pontos) Se o missil tem uma velocidade inicial de 250 metros por segundos, existe algum valor de lambda que garanta que o missil airá atingir 300 por segundo em algum momento? Explique.

Passo 1

O enunciado considera a equação diferencial
dVdt = (200 - V)l(10000 - lambda V^2r),
que descreve a velocidade V(t) de um míssil. Em (a) tomamos lambda=1 e queremos encontrar e classificar os equilíbrios (raízes de dV/dt=0) e interpretar seu significado físico. Em (b) analisamos, para condição inicial V(0)=250, se existe algum lambda que garanta que em algum instante V(t)=300. Para isso usaremos análise de estabilidade via sinal de tfracdVdt e condições para que a derivada seja positiva em [250,300].

Passo 2

Com lambda=1, as soluções de equilíbrio satisfazem
(200 - V),(10000 - V^2) = 0
Logo as raízes são
V = 200, V^2 = 10000 ;Longrightarrow; V = 100;ou;V=-100

Passo 3

Para classificar a estabilidade, examinamos o sinal de tfracdVdt nos intervalos definidos por -100, 100 e 200. Observamos:
Para V<-100 temos 200 - V>0 e 10000 - V^2<0, de modo que tfracdVdt<0: as soluções se afastam de -100 vindo da esquerda.
Para -100<V<100 temos 200 - V>0 e 10000 - V^2>0, de modo que tfracdVdt>0: trajetórias se aproximam de 100 vindo da esquerda.
Para 100<V<200 temos 200 - V>0 e 10000 - V^2<0, de modo que tfracdVdt<0: trajetórias se aproximam de 100 vindo da direita.
Para V>200 temos 200 - V<0 e 10000 - V^2<0, de modo que tfracdVdt>0: trajetórias se afastam de 200.
Assim V=-100 e V=200 são pontos de equilíbrio instáveis (repulsores) e V=100 é um equilíbrio estável (atrator).

Passo 4

Físicamente, V=-100 não faz sentido no modelo (velocidade negativa) e é um ponto repulsor. O míssil tende a um estado de regime permanente V=100,m/s se sua velocidade inicial estiver entre -100 e 200. Já V=200 é instável: se a velocidade ultrapassar ligeiramente 200 m/s, o fator ,(200-V) fica negativo e ,(10000-V^2) também fica negativo, fazendo tfracdVdt>0, ou seja, aceleração contínua e fuga para velocidades altas.

Passo 5

Para V(0)=250 queremos saber se o míssil chega a 300 m/s. Em qualquer V entre 250 e 300 o fator 200 - V é negativo. Para que tfracdVdt=(200-V)(10000-lambda V^2) seja positivo (e, portanto, V aumente até 300), é preciso que
10000 - lambda V^2 < 0 Long<=ftrightarrow lambda > 10000V^2
Para garantir isso em todo o intervalo 250<= V<=300, basta impor
lambda > max250<= V<=30010000V^2 = 10000250^2 =0,16
Logo se lambda>0,16, então para Vin[250,300] temos sempre tfracdVdt>0 e o míssil atinge 300 m/s. Se lambda<=0,16, então em V=250 já ocorre tfracdVdt<=0 e o míssil nunca acelera até 300.

Resposta

(a) As soluções de equilíbrio são V=-100, V=100 e V=200. Os pontos V=-100 e V=200 são instáveis (repulsores) e V=100 é estável (atrator). Fisicamente, o míssil tende a 100 m/s como velocidade de regime, e se ultrapassar 200 m/s acelera indefinidamente.
(b) Sim. Para que o míssil partindo de 250 m/s acelere até 300 m/s é necessário e suficiente que
lambda>0,16.

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