Um freezer industrial é projetado para operar com uma temperatura interna do ar de -20^{\circ} \mathrm{C}, quando a temperatura externa do ar for de 35^{\circ} \mathrm{C} e o coeficiente de transferência de calor interno e externo forem 12 e 8 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}{ }^{\circ} \mathrm{C}, respectivamente. As paredes do freezer usam construção compósita, com uma camada interna de plástico ( k=1 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C} e espessura de 3 mm ) e outra camada de aço inox ( k=16 \mathrm{W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C} e espessura de 1 mm ). Entre as duas camadas está sendo usada uma camada isolante ( k= 0,07 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C} ). Encontre a largura do isolante utilizado para reduzir a perda convectiva de calor para 15 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}.

Passo 1

O enunciado descreve um freezer cujas paredes são compostas por três camadas (plástico, isolante e aço inox) e que opera com temperatura interna de -20^\circ\text{C} e externa de 35^\circ\text{C}. Sabemos os coeficientes de convecção interna e externa ( h_i=12 e h_e=8, \mathrm{W/m^2K}) e as propriedades das camadas fixadas: plástico com k_1=1, \mathrm{W/mK}, L_1=3, \mathrm{mm}; aço inox com k_3=16, \mathrm{W/mK}, L_3=1, \mathrm{mm}; a camada isolante tem k_2=0{,}07, \mathrm{W/mK} e espessura L_2 desconhecida. Queremos L_2 tal que a perda de calor seja q''=15, \mathrm{W/m^2}.

Passo 2

A diferença de temperatura é
\Delta T = T_{\text{ext}} - T_{\text{int}} = 35 - (-20) = 55\;(^\circ\mathrm{C}).
Como q''=U\,\Delta T, o coeficiente global de transferência de calor U necessário é
U = \frac{q''}{\Delta T} = \frac{15}{55} \approx 0{,}2727\;\mathrm{W/m^2K}.

Passo 3

O circuito térmico por unidade de área tem resistência total
R_{\text{tot}} = \frac{1}{h_i} + \frac{L_1}{k_1} + \frac{L_2}{k_2} + \frac{L_3}{k_3} + \frac{1}{h_e}.
E U = 1/R_{\text{tot}}.

Passo 4

Substituindo valores em metros:
\frac{1}{h_i} = \frac{1}{12} \approx 0{,}08333, \quad \frac{L_1}{k_1} = \frac{0{,}003}{1} = 0{,}003, \quad \frac{L_3}{k_3} = \frac{0{,}001}{16} = 0{,}0000625, \quad \frac{1}{h_e} = \frac{1}{8} = 0{,}125.
Logo
R_{\text{tot}} = 0{,}08333 + 0{,}003 + \frac{L_2}{0{,}07} + 0{,}0000625 + 0{,}125 = 0{,}2113955 + \frac{L_2}{0{,}07}.

Passo 5

Impondo U = 1/R_{\text{tot}} com U=0{,}2727:
R_{\text{tot}} = \frac{1}{U} = \frac{1}{0{,}2727} \approx 3{,}6667,
então
3{,}6667 = 0{,}2113955 + \frac{L_2}{0{,}07} \quad\Longrightarrow\quad \frac{L_2}{0{,}07} = 3{,}6667 - 0{,}2113955 = 3{,}4553,
L_2 = 0{,}07 \times 3{,}4553 \approx 0{,}2419\;\mathrm{m}.

Resposta

A espessura do isolante deve ser aproximadamente 0{,}24,m.

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