A frequência cardíaca \left(f_{c}\right) segue a relação f_{c} \propto m^{-1 / 4}. A partir do ser humano ( \mathrm{m}_{\mathrm{H}}=75 \mathrm{~kg} e f_{c}=70 \mathrm{~b} / \mathrm{m} ), calcule a frequência cardíaca dos animais da tabela abaixo. Compare os valores calculados com os valores médios reais encontrados na natureza. Obtenha estes dados em livros especializados ou na internet.
Frequência cardíaca (b/m) b/m=batida por minuto
Ratazana Coelho Cachorro Homem Cavalo Elefante Baleia azul
Massa (kg) 0,3 2 8 75 600 5000 100000
Dados calculados 70
Dados médios reais 70
Estima-se que todos os mamíferos possuem o mesmo número de batidas do coração ao longo de toda a sua vida. Esse número é em torno de 1 bilhão. Aqui, o ser humano foge a essa regra devido à medicina.

Passo 1

O enunciado pede que eu: calcular a frequência cardíaca f_{c} de cada animal da tabela usando a relação de escala f_{c}\propto m^{-1/4}, tomando como referência o ser humano com m_{H}=75\\ \text{kg} e f_{c,H}=70\\ \text{b/m}; e comparar esses valores calculados com valores médios reais encontrados na literatura/internet.
Informações fornecidas no enunciado (dados relevantes):
\begin{array}{ll} \text{Ratazana:} & m=0{,}3\\ \text{kg}\\\ \text{Coelho:} & m=2\\ \text{kg}\\\ \text{Cachorro:} & m=8\\ \text{kg}\\\ \text{Homem:} & m=75\\ \text{kg},\\ f_{c}=70\\ \text{b/m}\\\ \text{Cavalo:} & m=600\\ \text{kg}\\\ \text{Elefante:} & m=5000\\ \text{kg}\\\ \text{Baleia azul:} & m=100000\\ \text{kg} \end{array}
Tarefas pedidas: para cada animal, (1) calcular f_{c} usando a lei de escala; (2) comparar com valores médios reais (obter esses valores em livros ou internet). Não há outras informações ausentes: posso fazer todos os cálculos com os dados acima.

Passo 2

Transformando a proporcionalidade em fórmula utilizável. Quando dizemos f_{c}\propto m^{-1/4}, isso significa que existe uma constante k tal que
f_{c}=k\,m^{-1/4}.
Usando o humano como referência (índice H), temos 70 = k\,m_{H}^{-1/4}. Isolando k e substituindo de volta, obtemos uma fórmula prática para qualquer massa m:
k = 70\,m_{H}^{1/4}\quad\Rightarrow\quad f_{c}=70\left(\frac{m}{m_{H}}\right)^{-1/4}.
É mais direto trabalhar com a forma
\boxed{f_{c}=70\left(\frac{75}{m}\right)^{1/4}},
pois m_{H}=75\\ \text{kg}. Aqui:
  • m é a massa do animal em kg,
  • f_{c} é a frequência cardíaca prevista em batidas por minuto (b/m),
  • o expoente 1/4 significa “quarta raiz” (ou raiz quarta).
Como calcular \left(\dfrac{75}{m}\right)^{1/4} sem pular etapas: a raiz quarta de um número x é \sqrt{\sqrt{x}}. Então, para cada animal:
  1. Calcular r=\dfrac{75}{m}.
  2. Calcular \sqrt{r}.
  3. Calcular \sqrt{\sqrt{r}} — é a raiz quarta.
  4. Multiplicar por 70 para obter f_{c}.
Vou aplicar esse procedimento passo a passo para cada animal e arredondar resultados para valores que façam sentido em prova (1 casa decimal quando necessário).

Passo 3

Cálculo para a ratazana ( m=0{,}3\\ \text{kg}).
  1. r=\dfrac{75}{0{,}3}=250.
  2. \sqrt{250}\approx 15{,}811 (porque 16^2=256, então fica um pouco menor).
  3. \sqrt{15{,}811}\approx 3{,}978. Esta é \left(250\right)^{1/4}.
  4. f_{c}=70\times 3{,}978\approx 278{,}5\\ \text{b/m}.

Passo 4

Cálculo para o coelho ( m=2\\ \text{kg}).
  1. r=\dfrac{75}{2}=37{,}5.
  2. \sqrt{37{,}5}\approx 6{,}124 (pois 6^2=36).
  3. \sqrt{6{,}124}\approx 2{,}475.
  4. f_{c}=70\times 2{,}475\approx 173{,}3\\ \text{b/m}.

Passo 5

Cálculo para o cachorro ( m=8\\ \text{kg}).
  1. r=\dfrac{75}{8}=9{,}375.
  2. \sqrt{9{,}375}\approx 3{,}062 (pois 3^2=9).
  3. \sqrt{3{,}062}\approx 1{,}750.
  4. f_{c}=70\times 1{,}750\approx 122{,}5\\ \text{b/m}.

Passo 6

Verificação do humano ( m=75\\ \text{kg}) — sanity check.
r=\dfrac{75}{75}=1,\quad \sqrt{1}=1,\quad \sqrt{1}=1,\quad f_{c}=70\times 1=70\\ \text{b/m},
concordando com o dado de referência.

Passo 7

Cálculo para o cavalo ( m=600\\ \text{kg}).
  1. r=\dfrac{75}{600}=0{,}125.
  2. \sqrt{0{,}125}\approx 0{,}3536 (pois \sqrt{1/8}=\sqrt{0{,}125}).
  3. \sqrt{0{,}3536}\approx 0{,}5947.
  4. f_{c}=70\times 0{,}5947\approx 41{,}63\\ \text{b/m}.

Passo 8

Cálculo para o elefante ( m=5000\\ \text{kg}).
  1. r=\dfrac{75}{5000}=0{,}015.
  2. \sqrt{0{,}015}\approx 0{,}1225.
  3. \sqrt{0{,}1225}\approx 0{,}3500.
  4. f_{c}=70\times 0{,}3500\approx 24{,}5\\ \text{b/m}.

Passo 9

Cálculo para a baleia azul ( m=100000\\ \text{kg}).
  1. r=\dfrac{75}{100000}=0{,}00075.
  2. \sqrt{0{,}00075}\approx 0{,}02739.
  3. \sqrt{0{,}02739}\approx 0{,}1655.
  4. f_{c}=70\times 0{,}1655\approx 11{,}6\\ \text{b/m}.

Passo 10

Resumo dos valores calculados (arredondando de forma prática):
\begin{array}{ll} \text{Ratazana:} & f_{c,\text{calc}}\approx 279\\ \text{b/m}\\[4pt] \text{Coelho:} & f_{c,\text{calc}}\approx 173\\ \text{b/m}\\[4pt] \text{Cachorro:} & f_{c,\text{calc}}\approx 123\\ \text{b/m}\\[4pt] \text{Homem:} & f_{c,\text{calc}}=70\\ \text{b/m}\\[4pt] \text{Cavalo:} & f_{c,\text{calc}}\approx 42\\ \text{b/m}\\[4pt] \text{Elefante:} & f_{c,\text{calc}}\approx 25\\ \text{b/m}\\[4pt] \text{Baleia azul:} & f_{c,\text{calc}}\approx 11{,}6\\ \text{b/m} \end{array}]

Passo 11

Obtenção e comparação com valores médios reais (fontes típicas: Merck Veterinary Manual, livros de fisiologia animal, Encyclopedia Britannica, National Geographic e artigos sobre fisiologia de cetáceos). Vou apresentar intervalos típicos encontrados na literatura e um valor médio representativo para comparação; isto é aceitável porque as frequências variam por espécie, atividade, idade e condições. Valores médios/intervalos reais aproximados (fontes mencionadas):
  • Ratazana ( 0{,}3\\ \text{kg}): taxas em repouso tipicamente 250\text{–}450\\ \text{b/m}; valor representativo \approx 350\\ \text{b/m}.
  • Coelho ( 2\\ \text{kg}): intervalos típicos 130\text{–}325\\ \text{b/m}; valor representativo \approx 180\\ \text{b/m}.
  • Cachorro ( 8\\ \text{kg}): depende da raça; repouso típico 60\text{–}140\\ \text{b/m}; valor representativo para cão pequeno/médio \approx 100\\ \text{b/m}.
  • Homem ( 75\\ \text{kg}): \approx 70\\ \text{b/m} (dado do enunciado).
  • Cavalo ( 600\\ \text{kg}): repouso típico 28\text{–}44\\ \text{b/m}; valor representativo \approx 38\\ \text{b/m}.
  • Elefante ( 5000\\ \text{kg}): repouso típico 25\text{–}35\\ \text{b/m}; valor representativo \approx 30\\ \text{b/m}.
  • Baleia azul ( 100000\\ \text{kg}): estudos mostram grande variação com mergulho; frequências médias na superfície ou em repouso típicas \sim 8\text{–}20\\ \text{b/m} (picos e quedas durante mergulhos podem levar a valores ainda menores); valor representativo \approx 10\\ \text{b/m}.

Passo 12

Comparação curta (interpretação didática):
  • As previsões pela lei m^{-1/4} dão a ordem de grandeza correta para todas as espécies: animais pequenos têm ritmos rápidos; grandes animais, ritmos lentos.
  • Para a ratazana e o coelho os valores calculados ( 279 e 173\\ \text{b/m}) ficam dentro ou próximos dos intervalos reais (ratazana: 250\text{–}450, coelho: 130\text{–}325).
  • Para o cachorro o valor calculado ( 123\\ \text{b/m}) está dentro do intervalo real ( 60\text{–}140), embora cães variem muito por raça e condicionamento físico.
  • Para cavalo e elefante os calculados ( 42 e 25\\ \text{b/m}) estão muito próximos dos valores médios reais ( \sim 38 e \sim 30\\ \text{b/m}).
  • Para a baleia azul o calculado ( \approx 11{,}6\\ \text{b/m}) também está na faixa observada ( \sim 8\text{–}20\\ \text{b/m}), lembrando que o batimento pode cair ainda mais durante mergulhos profundos.
    Em resumo: a lei de escala f_{c}\propto m^{-1/4} explica bem a tendência e fornece estimativas razoáveis — discrepâncias locais vêm de variações fisiológicas, estilo de vida, temperatura corporal, atividade e adaptações específicas (ex.: adaptações de mergulho nas baleias). A observação sobre “mesmo número de batidas ao longo da vida” é uma heurística (ordem de 10^{9}) e funciona como ideia geral, embora haja exceções (incluindo humanos modernos por intervenções médicas).

Resposta

Ratazana: f_{c,\text{calc}}\approx 279\\ \text{b/m}; valor médio real \approx 350\\ \text{b/m} (intervalo típico 250\text{–}450).\n
Coelho: f_{c,\text{calc}}\approx 173\\ \text{b/m}; valor médio real \approx 180\\ \text{b/m} (intervalo típico 130\text{–}325).\n
Cachorro: f_{c,\text{calc}}\approx 123\\ \text{b/m}; valor médio real \approx 100\\ \text{b/m} (intervalo típico 60\text{–}140).\n
Homem: f_{c,\text{calc}}=70\\ \text{b/m}; valor médio real =70\\ \text{b/m} (dado de referência).\n
Cavalo: f_{c,\text{calc}}\approx 42\\ \text{b/m}; valor médio real \approx 38\\ \text{b/m} (intervalo típico 28\text{–}44).\n
Elefante: f_{c,\text{calc}}\approx 25\\ \text{b/m}; valor médio real \approx 30\\ \text{b/m} (intervalo típico 25\text{–}35).\n
Baleia azul: f_{c,\text{calc}}\approx 11{,}6\\ \text{b/m}; valor médio real \approx 10\\ \text{b/m} (intervalo típico \sim 8\text{–}20, com variações grandes durante mergulhos).

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