Mostre que a massa reduzida de uma molécula diatômica é sempre menor que a massa de qualquer dos dois átomos da molécula. Calcule a massa reduzida para
HCl . Expresse as respostas em unidades de massa atômica.
HCl . Expresse as respostas em unidades de massa atômica.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Mostrar que a massa reduzida de uma molécula diatômica é sempre menor que a massa de qualquer um dos dois átomos que a compõem.
- Calcular a massa reduzida para a molécula de HCl e dar o resultado em unidades de massa atômica.
Informações relevantes que eu vou usar:
- A definição de massa reduzida:
, onde e são as massas dos dois átomos (sempre positivas). - Vou usar massas atômicas padrão (valores médios naturais) para H e Cl:
e . (Escolhi esses valores padrão; qualquer valor de tabela semelhante dá resultado praticamente igual.)
Passo 2
Definição e interpretação da fórmula (aula rapidinha):
- A massa reduzida
é definida por
- Explicando cada símbolo:
é a massa do átomo 1 (em ), é a massa do átomo 2 (em ). O produto tem unidades e o denominador tem unidades , então o quociente tem unidades , como esperado. - Intuição simples:
é uma “massa efetiva” que aparece quando você transforma o problema de dois corpos em um problema equivalente de um corpo (com massa ) movendo-se em relação ao centro de massa. Não precisamos da derivação física completa aqui; basta a fórmula para resolver a questão.
Passo 3
Prova algébrica de que
(passo a passo):
- Parto da definição:
- Quero comparar
com . Considere a diferença . Se eu mostrar que essa diferença é positiva, então . - Calculo:
- Coloco em comum denominador
:
- Simplifico o numerador:
- Então
- Como
e , o numerador e o denominador , logo a fração é positiva. Portanto , ou seja
Passo 4
Prova algébrica de que
(simetria):
- A fórmula é simétrica em
e . Repetindo exatamente o mesmo raciocínio trocando índices, obtemos
portanto
- Conclusão combinada: para quaisquer massas positivas
,
- Observação curta e prática (dica de prova curta para prova): escrevendo
mostra rapidamente que o denominador é , logo ; análogo trocando índices.
Passo 5
Cálculo explícito para HCl (contas passo a passo):
- Vou usar os valores indicados:
- Soma das massas:
- Produto das massas:
(esses dois números obtive pela multiplicação direta; mostrei o produto com precisão suficiente para o resultado final)
- Agora a massa reduzida:
Passo 6
Divisão final e arredondamento:
- Fazendo a divisão obtemos (calculando com precisão razoável para uso físico)
- Arredondando a uma precisão prática (5 casas decimais) fica
- Verificação rápida: esse valor é menor que
e muito menor que , coerente com a prova geral acima.