Mostre que a massa reduzida de uma molécula diatômica é sempre menor que a massa de qualquer dos dois átomos da molécula. Calcule a massa reduzida para
HCl . Expresse as respostas em unidades de massa atômica.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Mostrar que a massa reduzida de uma molécula diatômica é sempre menor que a massa de qualquer um dos dois átomos que a compõem.
  • Calcular a massa reduzida para a molécula de HCl e dar o resultado em unidades de massa atômica.
Informações relevantes que eu vou usar:
  • A definição de massa reduzida: \mu=\dfrac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}, onde m_{1} e m_{2} são as massas dos dois átomos (sempre positivas).
  • Vou usar massas atômicas padrão (valores médios naturais) para H e Cl: \,m_{\mathrm{H}}=1,007825\\ \mathrm{u} e \,m_{\mathrm{Cl}}=35,453\\ \mathrm{u}. (Escolhi esses valores padrão; qualquer valor de tabela semelhante dá resultado praticamente igual.)

Passo 2

Definição e interpretação da fórmula (aula rapidinha):
  • A massa reduzida \mu é definida por
\mu=\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}.
  • Explicando cada símbolo: m_{1} é a massa do átomo 1 (em \mathrm{u}), m_{2} é a massa do átomo 2 (em \mathrm{u}). O produto m_{1}m_{2} tem unidades \mathrm{u}^{2} e o denominador tem unidades \mathrm{u}, então o quociente tem unidades \mathrm{u}, como esperado.
  • Intuição simples: \mu é uma “massa efetiva” que aparece quando você transforma o problema de dois corpos em um problema equivalente de um corpo (com massa \mu) movendo-se em relação ao centro de massa. Não precisamos da derivação física completa aqui; basta a fórmula para resolver a questão.

Passo 3

Prova algébrica de que \mu<m_{1} (passo a passo):
  • Parto da definição:
\mu=\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}.
  • Quero comparar \mu com m_{1}. Considere a diferença m_{1}-\mu. Se eu mostrar que essa diferença é positiva, então \mu<m_{1}.
  • Calculo:
m_{1}-\mu=m_{1}-\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}.
  • Coloco em comum denominador m_{1}+m_{2}:
m_{1}-\mu=\frac{m_{1}(m_{1}+m_{2})-m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}.
  • Simplifico o numerador:
m_{1}(m_{1}+m_{2})-m_{1}m_{2}=m_{1}^{2}+m_{1}m_{2}-m_{1}m_{2}=m_{1}^{2}.
  • Então
m_{1}-\mu=\frac{m_{1}^{2}}{m_{1}+m_{2}}.
  • Como m_{1}>0 e m_{2}>0, o numerador m_{1}^{2}>0 e o denominador m_{1}+m_{2}>0, logo a fração é positiva. Portanto m_{1}-\mu>0, ou seja
\mu<m_{1}.

Passo 4

Prova algébrica de que \mu<m_{2} (simetria):
  • A fórmula é simétrica em m_{1} e m_{2}. Repetindo exatamente o mesmo raciocínio trocando índices, obtemos
m_{2}-\mu=\frac{m_{2}^{2}}{m_{1}+m_{2}}>0,
portanto
\mu<m_{2}.
  • Conclusão combinada: para quaisquer massas positivas m_{1},m_{2},
\mu=\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}<\min(m_{1},m_{2}).
  • Observação curta e prática (dica de prova curta para prova): escrevendo \mu=\dfrac{m_{1}}{1+m_{1}/m_{2}} mostra rapidamente que o denominador é >1, logo \mu<m_{1}; análogo trocando índices.

Passo 5

Cálculo explícito para HCl (contas passo a passo):
  • Vou usar os valores indicados:
m_{\mathrm{H}}=1,007825\\ \mathrm{u},\qquad m_{\mathrm{Cl}}=35,453\\ \mathrm{u}.
  • Soma das massas:
m_{\mathrm{H}}+m_{\mathrm{Cl}}=1,007825+35,453=36,460825\\ \mathrm{u}.
  • Produto das massas:
m_{\mathrm{H}}\,m_{\mathrm{Cl}}=1,007825\times35,453=35,730419725\\ \mathrm{u}^{2}.
(esses dois números obtive pela multiplicação direta; mostrei o produto com precisão suficiente para o resultado final)
  • Agora a massa reduzida:
\mu=\frac{m_{\mathrm{H}}\,m_{\mathrm{Cl}}}{m_{\mathrm{H}}+m_{\mathrm{Cl}}}=\frac{35,730419725}{36,460825}\\ \mathrm{u}.

Passo 6

Divisão final e arredondamento:
  • Fazendo a divisão obtemos (calculando com precisão razoável para uso físico)
\mu\approx0,9799674\\ \mathrm{u}.
  • Arredondando a uma precisão prática (5 casas decimais) fica
\mu\approx0,97997\\ \mathrm{u}.
  • Verificação rápida: esse valor é menor que m_{\mathrm{H}}=1,007825\\ \mathrm{u} e muito menor que m_{\mathrm{Cl}}=35,453\\ \mathrm{u}, coerente com a prova geral acima.

Resposta

\mu< m_{1} e \mu< m_{2} (isto é, a massa reduzida é sempre menor que a massa de qualquer dos dois átomos).
\mu(\mathrm{HCl})\approx0,97997\\ \mathrm{u}

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