A frequência fundamental de um tubo aberto em ambas as extremidades é 594 Hz . (a) Qual é o comprimento desse tubo? Se agora fecharmos uma extremidade, calcule (b) o comprimento de onda e (c) a nova frequência fundamental.
Passo 1
O enunciado dá que a frequência fundamental de um tubo aberto nas duas extremidades é
. Perguntas: (a) qual é o comprimento desse tubo? (b) se fecharmos uma extremidade, qual é o comprimento de onda da nova fundamental? (c) qual será a nova frequência fundamental? Vou assumir a velocidade do som no ar como
(valor típico a 20°C), já que o enunciado não dá
.
Passo 2
Conceito — tubo aberto em ambas as extremidades: em cada extremidade a partícula do ar tem um antinódo de deslocamento (ou seja, um extremo de onda). A distância entre dois antinódos consecutivos é exatamente meio comprimento de onda. Na frequência fundamental cabe meia onda no tubo, então vale a relação
onde
é o comprimento do tubo e
é o comprimento de onda da fundamental. Além disso a relação onda-velocidade-frequência é
onde
é a velocidade do som,
a frequência e
o comprimento de onda. Aqui
é a frequência fundamental dada
. Vou combinar as duas fórmulas para obter
em termos de
e
.
Passo 3
Combinação e cálculo do comprimento
: a partir de
temos
. Substituindo em
obtemos
Agora substituo os valores
e
:
Faço a divisão para obter o valor numérico:
Arredondando com três algarismos significativos (suficiente para uma prova), fica
Passo 4
Fechando uma extremidade — comprimento de onda da nova fundamental: no tubo com uma extremidade fechada e outra aberta a condição é que uma extremidade é um nó de deslocamento e a outra é um antinódo. Nessa configuração cabe um quarto de comprimento de onda na primeira harmônica (fundamental), portanto
Isolando
temos
Substituo o valor de
calculado:
Arredondando para três algarismos significativos:
Passo 5
Nova frequência fundamental com uma extremidade fechada: usamos
, logo
Mas como para o tubo aberto tínhamos
, nota-se que
Assim a nova frequência é metade da original. Calculando numericamente:
Também conferimos com
.
Passo 6
Resumo intuitivo rápido: abrir-aberto → fundamental corresponde a meia onda no tubo (
); fechar uma extremidade transforma a condição para um nó e um antinódo, fazendo a nova fundamental corresponder a um quarto de onda (
); por isso a frequência fundamental cai pela metade quando se fecha uma extremidade.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)