A frequência fundamental de um tubo aberto em ambas as extremidades é 594 Hz . (a) Qual é o comprimento desse tubo? Se agora fecharmos uma extremidade, calcule (b) o comprimento de onda e (c) a nova frequência fundamental.

Passo 1

O enunciado dá que a frequência fundamental de um tubo aberto nas duas extremidades é 594\\ \text{Hz}. Perguntas: (a) qual é o comprimento desse tubo? (b) se fecharmos uma extremidade, qual é o comprimento de onda da nova fundamental? (c) qual será a nova frequência fundamental? Vou assumir a velocidade do som no ar como v=343\\ \text{m/s} (valor típico a 20°C), já que o enunciado não dá v.

Passo 2

Conceito — tubo aberto em ambas as extremidades: em cada extremidade a partícula do ar tem um antinódo de deslocamento (ou seja, um extremo de onda). A distância entre dois antinódos consecutivos é exatamente meio comprimento de onda. Na frequência fundamental cabe meia onda no tubo, então vale a relação
L=\frac{\lambda}{2},
onde L é o comprimento do tubo e \lambda é o comprimento de onda da fundamental. Além disso a relação onda-velocidade-frequência é
v=f\lambda,
onde v é a velocidade do som, f a frequência e \lambda o comprimento de onda. Aqui f é a frequência fundamental dada f=594\\ \text{Hz}. Vou combinar as duas fórmulas para obter L em termos de v e f.

Passo 3

Combinação e cálculo do comprimento L: a partir de v=f\lambda temos \lambda=v/f. Substituindo em L=\lambda/2 obtemos
L=\frac{v}{2f}.
Agora substituo os valores \;v=343\\ \text{m/s}\; e \;f=594\\ \text{Hz}\;:
L=\frac{343}{2\cdot 594}=\frac{343}{1188}.
Faço a divisão para obter o valor numérico:
\frac{343}{1188}\approx 0{,}288716\\ \text{m}.
Arredondando com três algarismos significativos (suficiente para uma prova), fica
L\approx 0{,}289\\ \text{m}.

Passo 4

Fechando uma extremidade — comprimento de onda da nova fundamental: no tubo com uma extremidade fechada e outra aberta a condição é que uma extremidade é um nó de deslocamento e a outra é um antinódo. Nessa configuração cabe um quarto de comprimento de onda na primeira harmônica (fundamental), portanto
L=\frac{\lambda_{\text{fechado}}}{4}.
Isolando \lambda_{\text{fechado}} temos
\lambda_{\text{fechado}}=4L.
Substituo o valor de L calculado:
\lambda_{\text{fechado}}=4\cdot 0{,}288716\\ \text{m}\approx 1{,}154864\\ \text{m}.
Arredondando para três algarismos significativos:
\lambda_{\text{fechado}}\approx 1{,}155\\ \text{m}.

Passo 5

Nova frequência fundamental com uma extremidade fechada: usamos v=f'\lambda_{\text{fechado}}, logo
f'=\frac{v}{\lambda_{\text{fechado}}}=\frac{v}{4L}.
Mas como para o tubo aberto tínhamos f=\dfrac{v}{2L}, nota-se que
f'=\frac{1}{2}\,f.
Assim a nova frequência é metade da original. Calculando numericamente:
f'=\frac{594}{2}=297\\ \text{Hz}.
Também conferimos com f'=\dfrac{343}{1{,}154864}\approx 297\\ \text{Hz}.

Passo 6

Resumo intuitivo rápido: abrir-aberto → fundamental corresponde a meia onda no tubo ( \lambda=2L); fechar uma extremidade transforma a condição para um nó e um antinódo, fazendo a nova fundamental corresponder a um quarto de onda ( \lambda=4L); por isso a frequência fundamental cai pela metade quando se fecha uma extremidade.

Resposta

(a) L\approx 0{,}289\\ \text{m}
(b) \lambda_{\text{fechado}}\approx 1{,}155\\ \text{m}
(c) f'\approx 297\\ \text{Hz}

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