Qual das seguintes funções satisfazem a equação de onda ∂^{2} y / ∂ x^{2}=1 / v^{2} ∂^{2} y / ∂ t^{2} ?
y=(2 A \operatorname{sen} k x) \cos ω t;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função y satisfaz a equação de onda
\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}.
A função dada é
y=(2A\sin(kx))\cos(\omega t).
Informações relevantes que temos: a forma explícita de y(x,t) e a equação diferencial parcial que deve ser satisfeita. O objetivo é calcular as derivadas parciais de segunda ordem de y em relação a x e a t e comparar os dois lados da equação.

Passo 2

Vamos calcular \frac{\partial y}{\partial x} e depois \frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}. Aqui usamos a regra da cadeia e o fato de \cos(\omega t) ser constante quando derivamos em relação a x.
Primeira derivada em x:
\frac{\partial y}{\partial x} = 2A\cos(\omega t)\,\frac{d}{dx}\big(\sin(kx)\big).
Aplicando a regra da cadeia ( \frac{d}{dx}\sin(kx)=k\cos(kx)):
\frac{\partial y}{\partial x} = 2A\cos(\omega t)\,k\cos(kx).
Segunda derivada em x:
\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}} = 2A\cos(\omega t)\,k\frac{d}{dx}\big(\cos(kx)\big).
E \frac{d}{dx}\cos(kx)=-k\sin(kx), então
\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}} = 2A\cos(\omega t)\,k(-k)\sin(kx) = -k^{2}\,(2A\sin(kx))\cos(\omega t).
Reconhecendo a expressão original y=(2A\sin(kx))\cos(\omega t), obtemos
\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}} = -k^{2}y.

Passo 3

Agora calculamos \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}. Aqui \sin(kx) é constante quando derivamos em relação a t.
Primeira derivada em t:
\frac{\partial y}{\partial t} = 2A\sin(kx)\,\frac{d}{dt}\big(\cos(\omega t)\big).
E \frac{d}{dt}\cos(\omega t)=-\omega\sin(\omega t), logo
\frac{\partial y}{\partial t} = 2A\sin(kx)\,(-\omega)\sin(\omega t) = -2A\omega\sin(kx)\sin(\omega t).
Segunda derivada em t:
\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} = -2A\omega\sin(kx)\,\frac{d}{dt}\big(\sin(\omega t)\big).
E \frac{d}{dt}\sin(\omega t)=\omega\cos(\omega t), portanto
\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} = -2A\omega\sin(kx)\,\omega\cos(\omega t) = -\omega^{2}\,(2A\sin(kx))\cos(\omega t).
Novamente reconhecendo y, obtemos
\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} = -\omega^{2}y.

Passo 4

Substituímos as duas segundas derivadas na equação de onda:
\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}
tornase
-k^{2}y=\frac{1}{v^{2}}(-\omega^{2}y).
Simplificando (cancelando o sinal negativo e, para soluções não triviais, y\neq 0):
k^{2}=\frac{\omega^{2}}{v^{2}}.
Isto implica
\omega^{2}=v^{2}k^{2}\quad\Rightarrow\quad \omega = v k\\ \\ (\text{tomando }\omega>0,\\ k>0).

Passo 5

Interpretação didática e prática para a prova: o procedimento padrão para verificar se uma função satisfaz a equação de onda é (1) calcular \frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}} e \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}, (2) substituir na equação e (3) obter a condição entre constantes (aqui \omega, k e v). No caso de funções separáveis do tipo espacial vezes temporal (aqui \sin(kx) e \cos(\omega t)), costuma-se obter que cada lado é proporcional à própria função y, permitindo cancelar y e obter a relação de dispersão. Resultado prático: a função dada é uma forma de onda estacionária (produto de função espacial e temporal) e satisfaz a equação de onda se e somente se a relação de parâmetros \omega = v k (ou equivalente) for válida. Se no enunciado v, \omega e k são independentes e essa relação não vale, a função NÃO satisfaz a equação.

Resposta

A função satisfaz a equação de onda se, e somente se, \omega = v k.

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