Qual das seguintes funções satisfazem a equação de onda
?
;
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
satisfaz a equação de onda
A função dada é
Informações relevantes que temos: a forma explícita de
e a equação diferencial parcial que deve ser satisfeita. O objetivo é calcular as derivadas parciais de segunda ordem de
em relação a
e a
e comparar os dois lados da equação.
Passo 2
Vamos calcular
e depois
. Aqui usamos a regra da cadeia e o fato de
ser constante quando derivamos em relação a
.
Primeira derivada em
:
Aplicando a regra da cadeia (
):
Segunda derivada em
:
E
, então
Reconhecendo a expressão original
, obtemos
Passo 3
Agora calculamos
. Aqui
é constante quando derivamos em relação a
.
Primeira derivada em
:
E
, logo
Segunda derivada em
:
E
, portanto
Novamente reconhecendo
, obtemos
Passo 4
Substituímos as duas segundas derivadas na equação de onda:
tornase
Simplificando (cancelando o sinal negativo e, para soluções não triviais,
):
Isto implica
Passo 5
Interpretação didática e prática para a prova: o procedimento padrão para verificar se uma função satisfaz a equação de onda é (1) calcular
e
, (2) substituir na equação e (3) obter a condição entre constantes (aqui
,
e
). No caso de funções separáveis do tipo espacial vezes temporal (aqui
e
), costuma-se obter que cada lado é proporcional à própria função
, permitindo cancelar
e obter a relação de dispersão. Resultado prático: a função dada é uma forma de onda estacionária (produto de função espacial e temporal) e satisfaz a equação de onda se e somente se a relação de parâmetros
(ou equivalente) for válida. Se no enunciado
,
e
são independentes e essa relação não vale, a função NÃO satisfaz a equação.
Resposta
A função satisfaz a equação de onda se, e somente se,
.