Por meio de medições, você determina que ondas sonoras estão se propagando igualmente em todas as direções a partir de uma fonte pontual e que a intensidade é igual a 0,026 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} a uma distância de 4,3 \mathrm{~m} da fonte. Quanta energia sonora a fonte emite em uma hora se a potência fornecida permanecer constante?

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Dados fornecidos:
    • A intensidade sonora medida a uma distância é \,I=0,026\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.
    • A distância da fonte para o ponto de medição é \,r=4,3\\ \mathrm{m}.
    • As ondas se propagam igualmente em todas as direções a partir de uma fonte pontual (distribuição isotrópica).
    • A potência fornecida pela fonte permanece constante durante a medição.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar quanta energia sonora a fonte emite em uma hora, supondo potência constante.

Passo 2

Entender o conceito físico que liga intensidade, potência e área:
  • Intensidade sonora I é a potência sonora por unidade de área perpendicular à direção de propagação. Em palavras: é quanta potência (energia por segundo) passa por cada metro quadrado.
  • Matematicamente, para uma superfície A,
    I=\frac{P}{A},
    onde:
    • \,I é a intensidade (em \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}),
    • \,P é a potência total emitida pela fonte (em \mathrm{W}),
    • \,A é a área pela qual a potência está passando (em \mathrm{m}^{2}).
  • No caso de uma fonte pontual que emite igualmente em todas as direções (isotrópica), a potência está distribuída por uma superfície esférica de raio \,r. A área dessa esfera é
    A = 4\pi r^{2}.

Passo 3

Isolar a potência P na relação entre intensidade e área:
  • A partir de \,I=\dfrac{P}{A} e usando A=4\pi r^{2}, temos P = I \cdot A = I \cdot 4\pi r^{2}.
  • Agora vamos substituir os valores numéricos fornecidos: \,I=0,026\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2} e \,r=4,3\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Fazer as contas para a potência P passo a passo:
  • Calcular r^{2}: r^{2} = (4,3)^{2} = 18,49\\ \mathrm{m}^{2}.
  • Calcular 4r^{2}: 4r^{2} = 4 \cdot 18,49 = 73,96.
  • Então P = I \cdot 4\pi r^{2} = 0,026 \cdot 73,96 \cdot \pi.
  • Calcule 0,026 \cdot 73,96: 0,026 \cdot 73,96 = 1,92296.
  • Portanto P = 1,92296\cdot \pi \\ \mathrm{W}.
  • Avaliando numericamente com \pi\approx 3,14159, P \approx 1,92296 \times 3,14159 \approx 6,04\\ \mathrm{W}.(Arredondei para três algarismos significativos, ficando \,P\approx 6,04\\ \mathrm{W}.)

Passo 5

Converter potência constante em energia total emitida em uma hora:
  • Energia total emitida em tempo t é E = P\cdot t.
  • Uma hora corresponde a t = 1\\ \text{hora} = 3600\\ \mathrm{s}.
  • Então E = P\cdot t \approx 6,04\\ \mathrm{W} \times 3600\\ \mathrm{s}.
  • Fazendo a multiplicação: E \approx 6,04 \times 3600 = 21\,744\\ \mathrm{J}.
  • Mantendo mais precisão a partir do P não arredondado ( P\approx 1,92296\pi): P \approx 6,04098\\ \mathrm{W}\quad\Rightarrow\quad E \approx 6,04098\times 3600 \approx 21\,747,5\\ \mathrm{J}.
  • Para apresentação, podemos arredondar para três algarismos significativos: E \approx 2,17\times 10^{4}\\ \mathrm{J} \quad\text{ou}\quad E \approx 21,7\\ \mathrm{kJ}.

Resposta

E \approx 2,17\times 10^{4}\\ \mathrm{J}
E \approx 21,7\\ \mathrm{kJ}

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