A frequência natural de um oscilador harmônico é dada por:
sendo
a constante elástica da mola e
a massa do oscilador.
Explique fisicamente essa expressão: o que ela nos diz sobre o comportamento do sistema? Como a rigidez da mola (
) e a inércia do corpo (
) influenciam a frequência das oscilações?
Explique fisicamente essa expressão: o que ela nos diz sobre o comportamento do sistema? Como a rigidez da mola (
Passo 1
O enunciado trata de um oscilador harmônico massa-mola, cuja frequência natural é
onde
é a constante elástica e
é a massa. Para entender fisicamente, vamos usar a equação de movimento e a forma da solução.
Passo 2
A equação de movimento de um oscilador massa-mola, sem amortecimento nem forças externas, é
Procuramos soluções do tipo
. Substituindo nessa equação e igualando coeficientes, obtemos
Dessa forma surge a definição da frequência natural
Passo 3
Análise do efeito da rigidez
: quanto maior
, mais “forte” é a força restauradora
. Isso significa que, para um mesmo deslocamento, a mola exerce uma força maior e “puxa” o corpo de volta mais rapidamente, aumentando a velocidade de oscilação. Matematicamente,
grande ⇒
maior ⇒ oscilações mais rápidas e período menor.
Passo 4
Análise do efeito da massa
: quanto maior
, maior é a inércia do corpo, ou seja, mais difícil mudar seu estado de movimento. Para uma mesma força restauradora, uma massa maior acelera menos, retardando as oscilações. Matematicamente,
grande ⇒ denominador maior ⇒
menor ⇒ oscilações mais lentas e período maior.
Passo 5
Em suma, a fórmula
mostra que a frequência natural é proporcional à raiz da rigidez (força restauradora) e inversamente proporcional à raiz da massa (inércia). É o equilíbrio entre quão forte a mola “puxa” e quanta resistência à mudança de movimento a massa oferece.
Resposta
A expressão
nos diz que um oscilador mais rígido (
maior) oscila mais rápido, enquanto um corpo mais inerte (
maior) oscila mais devagar.