( )(5) (3,0 pts) Seja um oscilador unidimensional de massa m e frequência angular de oscilaçāo livre omega0 sob a ação de uma força externa F ext (t)=F0 cos (omega t) e^-alpha t, com F0, omega e alpha constantes positivas e t>0.
a) Monte a equaçāo diferencial que descreve o movimento e encontre a soluçāo particular. Para tanto, é fortemente recomendável que se faça a extensāo para a equaçāo diferencial complexa, introduzindo a variável complexa z(t)=x(t)+i Im(z), sendo x(t) a posição do oscilador a partir do equilibrio e Im(z) a partc imaginária de z(t).
b) Encontre a soluçāo geral e identifique as soluções transiente e estacionária.
c) Faça un estudo sobre como a amplitude ao quadrado da soluçāo particular se comporta com omega. Onde ocorre o pico de ressonância? O que ocorre se alpha >= omega0 ?

Passo 1

O enunciado descreve um oscilador sem amortecimento de massa m e frequência natural omega0, sujeito à força externa
Fext(t)=F0cos(omega t),e^-alpha t, t>0,
com F0,omega,alpha>0. A equação de movimento é
m,x''(t)+m,omega0^2,x(t)=F0cos(omega t),e^-alpha t
Para achar a solução particular, vamos estender para o campo complexo definindo
z(t)=x(t)+i,Im(z) e forçar
m,z''(t)+m,omega0^2,z(t)=F0,e^iomega t,e^-alpha t =;F0,e^-(alpha - iomega),t

Passo 2

Dividindo por m e reescrevendo, obtemos a equação complexa
z''(t)+omega0^2,z(t)=F0m;e^-(alpha - iomega),t
Procuramos uma solução particular do tipo
zp(t)=A,e^-(alpha - iomega),t
Derivando duas vezes e substituindo,
zp''+( omega0^2),zp =Al[(alpha - iomega)^2+omega0^2r],e^-(alpha - iomega)t =F0m,e^-(alpha - iomega)t
Logo,
A=F0/m(alpha - iomega)^2+omega0^2 =F0/malpha^2-omega^2+omega0^2-2,i,alpha,omega

Passo 3

O zp(t) fica
zp(t) =F0/m(alpha - iomega)^2+omega0^2 ;e^-(alpha - iomega)t
A parte real dá a solução particular física
xp(t) =e^-alpha t,RelA,e^,iomega tr =e^-alpha t,l|Ar|cos!l(omega t+varphir),
onde
|A|=F0/m raiz(omega0^2-omega^2+alpha^2)^2+(2alphaomega)^2 e varphi=arg!l((alpha - iomega)^2+omega0^2r)

Passo 4

A solução geral é
x(t)=xh(t)+xp(t),
com a parte homogênea
xh(t)=C1cos(omega0t)+C2sin(omega0t)
Aqui xh(t) é a parte transiente (depende das condições iniciais) e xp(t) é a parte “estacionária” induzida pela força externa (embora decaia em e^-alpha t).

Passo 5

O quadrado da amplitude da solução particular é
l|xp(t)r|^2 =e^-2alpha t,(F0/m)^2 (omega0^2-omega^2+alpha^2)^2+(2alphaomega)^2
Para estudar a ressonância, analisamos o denominador
D(omega) =(omega0^2-omega^2+alpha^2)^2+(2alphaomega)^2
A condição de pico vem de dDdomega=0, resultando em
omegarm res^2=omega0^2-alpha^2,
ou seja
omegarm res=raizomega0^2-alpha^2,
válido se alpha<omega0. Se alpha>=omega0, não há pico de ressonância ( D(omega) cresce monotonamente), e a amplitude máxima ocorre em omega=0.

Resposta

a) Equação diferencial:
m,x''+m,omega0^2x=F0cos(omega t)e^-alpha t
Solução particular complexa:
zp(t) =F0/m(alpha - iomega)^2+omega0^2 ,e^-(alpha - iomega)t,
de onde
xp(t) =e^-alpha t,l|Ar|cos(omega t+varphi)
b) Solução geral:
x(t)=C1cos(omega0t)+C2sin(omega0t) +e^-alpha t,l|Ar|cos(omega t+varphi)
Transiente: C1cos(omega0t)+C2sin(omega0t).
Estacionária: e^-alpha t|A|cos(omega t+varphi).
c) Amplitude ao quadrado:
|xp|^2 =e^-2alpha t(F0/m)^2 (omega0^2-omega^2+alpha^2)^2+(2alphaomega)^2
Pico de ressonância em omega=raizomega0^2-alpha^2 se alpha<omega0. Se alpha>=omega0, não há ressonância.

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