( )(5) (3,0 pts) Seja um oscilador unidimensional de massa e frequência angular de oscilaçāo livre sob a ação de uma força externa , com e constantes positivas e .
a) Monte a equaçāo diferencial que descreve o movimento e encontre a soluçāo particular. Para tanto, é fortemente recomendável que se faça a extensāo para a equaçāo diferencial complexa, introduzindo a variável complexa , sendo a posição do oscilador a partir do equilibrio e a partc imaginária de .
b) Encontre a soluçāo geral e identifique as soluções transiente e estacionária.
c) Faça un estudo sobre como a amplitude ao quadrado da soluçāo particular se comporta com . Onde ocorre o pico de ressonância? O que ocorre se ?
Passo 1
O enunciado descreve um oscilador sem amortecimento de massa e frequência natural , sujeito à força externa
com . A equação de movimento é
Para achar a solução particular, vamos estender para o campo complexo definindo e forçar
Passo 2
Dividindo por e reescrevendo, obtemos a equação complexa
Procuramos uma solução particular do tipo
Derivando duas vezes e substituindo,
Logo,
Passo 3
O fica
A parte real dá a solução particular física
onde
|A|=F0/m raiz(omega0^2-omega^2+alpha^2)^2+(2alphaomega)^2 e varphi=arg!l((alpha - iomega)^2+omega0^2r)
Passo 4
A solução geral é
x(t)=xh(t)+xp(t),
com a parte homogênea
xh(t)=C1cos(omega0t)+C2sin(omega0t)
Aqui xh(t) é a parte transiente (depende das condições iniciais) e xp(t) é a parte “estacionária” induzida pela força externa (embora decaia em e^-alpha t).