( ) (6) (3,0 pts) Uma partícula de massa m está sujeita a uma força F=-m omega^2(x+y)(i+j), sendo omega uma constante positiva.
a) Encontre a energia potencial da partícula.
b) Pela segunda lei de Newton, encontre um sistema de equaçōes diferenciais acoplado envolvendo as coordenadas da partícula c suas derivadas.
c) Resolva o sistema considerando r(0)=0 e v(0)=v0 jmath.

Passo 1

O problema trata de uma partícula de massa m sujeita a uma força conservativa
vec F = -m,omega^2,(x+y),(hatimath+hatjmath).
Conteúdo: energia potencial via vec F=-nabla U, equações de movimento pela 2ª lei de Newton, e solução de um sistema de EDOs acopladas com condições iniciais vec r(0)=0, vec v(0)=v0hatjmath.

Passo 2

Para achar a energia potencial U(x,y) usamos
vec F = -nabla U
ou seja
partial Upartial x = momega^2(x+y), partial Upartial y = momega^2(x+y)
Integrando em x (mantendo y fixo) dá
U(x,y)=momega^2l(tfrac12x^2+xyr)+g(y)
Derivando essa expressão em y deve coincidir com momega^2(x+y), o que força
,g'(y)=tfrac12momega^2cdot2y=momega^2y. Integrando g e escolhendo a constante tal que U(0,0)=0, obtemos
U(x,y)=12,momega^2l(x^2+2xy+y^2r) =12,momega^2(x+y)^2

Passo 3

A segunda lei de Newton ,mddotvec r=vec F, gera o sistema
mddot x=-momega^2(x+y), mddot y=-momega^2(x+y)
Dividindo por m, fica
ddot x + omega^2(x+y)=0, ddot y + omega^2(x+y)=0

Passo 4

Para desempacotar acoplamento, definimos
u=x+y, v=x-y
Somando e subtraindo as EDOs:
ddot u +2omega^2u=0, ddot v=0
Condições iniciais: x(0)=y(0)=0 dão u(0)=0,;v(0)=0; e dot x(0)=0,;dot y(0)=v0 dão dot u(0)=v0,;dot v(0)=-v0.
Resolvendo:
v(t)=-v0,t, u(t)=Acos(raiz2omega t)+Bsin(raiz2omega t),
com u(0)=0Rightarrow A=0 e dot u(0)=Braiz2omega=v0Rightarrow B=tfracv0raiz2omega. Logo
u(t)=v0raiz2omega,sin(raiz2omega,t)

Passo 5

Voltando a x e y:
x=u+v2, y=u-v2
Substituindo u(t) e v(t), obtemos
x(t)=-v02,t +v02raiz2omega,sin(raiz2omega,t),
y(t)=v02,t +v02raiz2omega,sin(raiz2omega,t)

Resposta

a)
U(x,y)=12,momega^2,(x+y)^2
b)
ddot x+omega^2(x+y)=0, ddot y+omega^2(x+y)=0
c)
x(t)=-v02,t +v02raiz2omega,sinl(raiz2omega,tr), y(t)=v02,t +v02raiz2omega,sinl(raiz2omega,tr)

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