( ) (6) (3,0 pts) Uma partícula de massa
está sujeita a uma força
, sendo
uma constante positiva.
a) Encontre a energia potencial da partícula.
b) Pela segunda lei de Newton, encontre um sistema de equaçōes diferenciais acoplado envolvendo as coordenadas da partícula c suas derivadas.
c) Resolva o sistema considerando
e
.
a) Encontre a energia potencial da partícula.
b) Pela segunda lei de Newton, encontre um sistema de equaçōes diferenciais acoplado envolvendo as coordenadas da partícula c suas derivadas.
c) Resolva o sistema considerando
Passo 1
O problema trata de uma partícula de massa
sujeita a uma força conservativa
.
Conteúdo: energia potencial via , equações de movimento pela 2ª lei de Newton, e solução de um sistema de EDOs acopladas com condições iniciais
,
.
Conteúdo: energia potencial via
Passo 2
Para achar a energia potencial
usamos
ou seja
Integrando em
(mantendo
fixo) dá
Derivando essa expressão em
deve coincidir com
, o que força
. Integrando
e escolhendo a constante tal que
, obtemos
Passo 3
A segunda lei de Newton
, gera o sistema
Dividindo por
, fica
Passo 4
Para desempacotar acoplamento, definimos
Somando e subtraindo as EDOs:
Condições iniciais:
dão
; e
dão
.
Resolvendo:
Resolvendo:
com
e
. Logo
Passo 5
Voltando a
e
:
Substituindo
e
, obtemos
Resposta
a)
b)
c)