Considerando a conservação de energia em um circuito R C, obtemos a seguinte equação:
R d q(t)d t+1C q(t)=V0
(a) Obtenha e interprete a solução q(t) para o caso em que o capacitor está inicialmente descarregado, ou seja, q(0)=0, e é ligado a uma fonte de tensão contínua V0.
(b) Faça a interpretação física do produto R C : o que ele representa? O que é possível controlar ou ajustar variando os valores da resistência e da capacitância no circuito?

Passo 1

O enunciado apresenta a equação obtida pela conservação de energia num circuito RC:
R d q(t)d t + 1C,q(t) = V0,
onde q(t) é a carga do capacitor em função do tempo, e pede (a) a solução para q(0)=0 quando se conecta a uma fonte contínua V0, e (b) o significado físico do produto RC. Vamos tratar isso como uma equação diferencial linear de primeira ordem.

Passo 2

Reescrevemos em forma padrão dividindo tudo por R:
d qd t + 1RC,q = V0R
O fator integrante é
mu(t) = expl(integral 1RC,dtr) = e^,t/(RC)

Passo 3

Multiplicando a equação padrão por mu(t) obtemos
e^t/(RC)d qd t + 1RCe^t/(RC)q = V0Re^t/(RC) Longrightarrow ddtl(e^t/(RC)qr) = V0Re^t/(RC)
Integramos ambos os lados em t:
e^t/(RC)q = V0Rintegral e^t/(RC)dt + K = V0R,(RC),e^t/(RC) + K = V0C,e^t/(RC) + K

Passo 4

Isolando q(t) e aplicando q(0)=0:
q(t) = V0C + K,e^-t/(RC),
em t=0
0 = V0C + K Longrightarrow K = -V0C
Logo
q(t) = V0Cl(1 - e^-t/(RC)r)

Passo 5

Fisicamente, q(t) parte de zero e cresce exponencialmente até o valor de equilíbrio q(infty)=V0C. A forma
q(t)=V0Cl(1 - e^-t/taur)
mostra que a carga alcança cerca de 63% de V0C quando t=tau.

Passo 6

O produto
RC = tau
é chamado de constante de tempo do circuito. Ele mede quão rápido o capacitor carrega ou descarrega. Aumentar R ou C torna tau maior, ou seja, deixa o processo mais lento; diminuir R ou C acelera a resposta do circuito.

Resposta

(a) q(t) = V0Cl(1 - e^-t/(RC)r).
(b) O produto RC é a constante de tempo tau do circuito, que quantifica a rapidez do carregamento e descarregamento do capacitor; variando R ou C controlamos essa taxa de resposta.

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