Considerando a conservação de energia em um circuito
, obtemos a seguinte equação:
(a) Obtenha e interprete a solução
para o caso em que o capacitor está inicialmente descarregado, ou seja,
, e é ligado a uma fonte de tensão contínua
.
(b) Faça a interpretação física do produto
: o que ele representa? O que é possível controlar ou ajustar variando os valores da resistência e da capacitância no circuito?
(b) Faça a interpretação física do produto
Passo 1
O enunciado apresenta a equação obtida pela conservação de energia num circuito
:
onde
é a carga do capacitor em função do tempo, e pede (a) a solução para
quando se conecta a uma fonte contínua
, e (b) o significado físico do produto
. Vamos tratar isso como uma equação diferencial linear de primeira ordem.
Passo 2
Reescrevemos em forma padrão dividindo tudo por
:
O fator integrante é
Passo 3
Multiplicando a equação padrão por
obtemos
Integramos ambos os lados em
:
Passo 4
Isolando
e aplicando
:
em
dá
Logo
Passo 5
Fisicamente,
parte de zero e cresce exponencialmente até o valor de equilíbrio
. A forma
mostra que a carga alcança cerca de
de
quando
.
Passo 6
O produto
é chamado de constante de tempo do circuito. Ele mede quão rápido o capacitor carrega ou descarrega. Aumentar
ou
torna
maior, ou seja, deixa o processo mais lento; diminuir
ou
acelera a resposta do circuito.
Resposta
(a)
.
(b) O produto
é a constante de tempo
do circuito, que quantifica a rapidez do carregamento e descarregamento do capacitor; variando
ou
controlamos essa taxa de resposta.