A frequência de um oscilador eletrônico segue uma distribuição normal com média 10 MHz e desvio padrão 0.05 MHz .
Qual a probabilidade de a frequência estar entre 9.95 MHz e 10.05 MHz ?

Passo 1

Beleza, então o enunciado é o seguinte: a frequência de um oscilador eletrônico é uma variável aleatória que segue uma distribuição Normal com média μ = 10 MHz e desvio padrão σ = 0,05 MHz. A pergunta é: qual a probabilidade de a frequência estar entre 9,95 MHz e 10,05 MHz?
Conteúdo: Distribuição Normal e padronização (transformar em Z).
O que precisamos: a fórmula de padronização e a tabela (ou valor) da função de distribuição acumulada da Normal padrão (Φ).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da ideia da distribuição Normal. Se Z = X - musigma , então a densidade de probabilidade é “aquele famoso sininho” em volta de μ e espalhado conforme σ. Para achar , a gente geralmente padroniza, virando em , que segue .
A padronização é dada por:
Isso faz a média virar 0 e o desvio virar 1, e aí usamos tabelas ou valores prontos de Φ.

Passo 3

Vamos calcular os dois valores de Z1 = 9,95 - 100,05 = -0,050,05 = -1, Z2 = 10,05 - 100,05 = 0,050,05 = 1 para os limites 9,95 e 10,05:
P(9,95 <= X <= 10,05) = P(-1 <= Z <= 1)
Assim,

Passo 4

Na Normal padrão,
P(-1<= Z<= 1) = Phi(1) - Phi(-1)
Mas a curva é simétrica, então P(-1<= Z<= 1) = Phi(1) - [1 - Phi(1)] = 2,Phi(1) - 1 . Logo:
P(-1<= Z<= 1) approx 2 times 0,8413 - 1 = 1,6826 - 1 = 0,6826
Sabendo que , temos

Passo 5

Interpretando: 0,6826 é a probabilidade de o valor cair nesse intervalo de ±1σ em relação à média. É como dizer que cerca de 68,26% das frequências ficarão entre 9,95 MHz e 10,05 MHz.

Resposta

A probabilidade de a frequência estar entre 9,95 MHz e 10,05 MHz é aproximadamente 0,6826 (ou 68,26%).

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