Qual é a frequências fundamental e os três outros harmônicos seguintes para um tubo de órgão de 26 cm de comprimento, se ele for aberto nas duas extremidades
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede isso:
- Dado: um tubo de órgão com comprimento
. - Condição: o tubo é aberto nas duas extremidades.
- Pedido: determinar a frequência fundamental e os três harmônicos seguintes.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Comprimento do tubo:
. - O tubo sendo aberto em ambas as extremidades é uma condição importante para saber quais modos são permitidos (vai influenciar a fórmula das frequências).
Passo 2
Entendendo o que significa “aberto nas duas extremidades” (explicação física, bem devagar e sem mistério):
- Num tubo aberto em ambas as extremidades, as extremidades não prendem o ar: quando a onda sonora forma um modo estacionário, as extremidades são pontos onde a partícula do ar tem grande movimentação (antínodos de deslocamento) e, correspondemente, são nós de variação de pressão.
- O que importa para a frequência é que as ondas que se estabelecem no tubo têm que “encaixar” um número inteiro de meias-ondas no comprimento do tubo. Vou detalhar isso no próximo passo.
Passo 3
Derivando a relação entre comprimento, comprimento de onda e frequência (passo a passo didático):
- Para um tubo aberto em ambas as extremidades, os comprimentos de onda permitidos são aqueles que satisfazem que cabem exatamente
meias-ondas dentro do tubo, com inteiro positivo:
Explicando cada símbolo:
-
é o comprimento de onda do modo . -
é o comprimento do tubo (aqui ). -
é o número do harmônico: é o fundamental, o segundo harmônico, etc. - A frequência relacionada ao comprimento de onda e à velocidade do som
é dada por
Substituindo
obtemos a fórmula prática usada em tubos abertos:
Explicando os novos símbolos:
-
é a frequência do harmônico . -
é a velocidade do som no ar (unidade: metros por segundo, ). O valor de depende da temperatura; para condições ambientes típicas usamos (temperatura próxima de ). Vou usar a menos que se queira outro valor.
Passo 4
Preparando os valores para calcular (conversões e substituição):
- Já convertimos
:
- A constante que aparece no denominador é
:
- A fórmula geral novamente para referência:
Passo 5
Calculando a frequência fundamental (
) com explicação das contas:
- Substituindo
:
- Fazer a divisão passo a passo (sem pular etapas): primeiro note que
é aproximadamente meio metro, então o resultado será da ordem de algumas centenas de Hz. Agora a conta:
Arredondando de um jeito que dá para usar numa prova sem frescura, podemos usar
.
Passo 6
Calculando os três harmônicos seguintes (usando que, para tubo aberto, todos os harmônicos inteiros aparecem e são múltiplos inteiros da fundamental):
- A relação simples é
Portanto:
- Segundo harmônico (
):
- Terceiro harmônico (
):
- Quarto harmônico (
):
Passo 7
Observações finais rápidas e incentivo:
- Lembre-se: para tubo aberto nas duas extremidades a sequência de frequências é
com — ou seja, aparecem todos os harmônicos inteiros. - Eu usei
(condições de ). Se você usar os números mudam um pouco, mas o método é o mesmo. - Vai dar certo na prova — decora a fórmula
e transforma para metros. Respira fundo, revisa esse passo a passo e manda ver!
Resposta
Frequência fundamental:
Segundo harmônico:
Terceiro harmônico:
Quarto harmônico:
Segundo harmônico:
Terceiro harmônico:
Quarto harmônico: