Qual é a frequências fundamental e os três outros harmônicos seguintes para um tubo de órgão de 26 cm de comprimento, se ele for aberto nas duas extremidades

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede isso:
  • Dado: um tubo de órgão com comprimento 26\\ \text{cm}.
  • Condição: o tubo é aberto nas duas extremidades.
  • Pedido: determinar a frequência fundamental e os três harmônicos seguintes.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Comprimento do tubo: L=26\\ \text{cm}=0,26\\ \text{m}.
  • O tubo sendo aberto em ambas as extremidades é uma condição importante para saber quais modos são permitidos (vai influenciar a fórmula das frequências).

Passo 2

Entendendo o que significa “aberto nas duas extremidades” (explicação física, bem devagar e sem mistério):
  • Num tubo aberto em ambas as extremidades, as extremidades não prendem o ar: quando a onda sonora forma um modo estacionário, as extremidades são pontos onde a partícula do ar tem grande movimentação (antínodos de deslocamento) e, correspondemente, são nós de variação de pressão.
  • O que importa para a frequência é que as ondas que se estabelecem no tubo têm que “encaixar” um número inteiro de meias-ondas no comprimento do tubo. Vou detalhar isso no próximo passo.

Passo 3

Derivando a relação entre comprimento, comprimento de onda e frequência (passo a passo didático):
  • Para um tubo aberto em ambas as extremidades, os comprimentos de onda permitidos são aqueles que satisfazem que cabem exatamente n meias-ondas dentro do tubo, com n inteiro positivo:
\lambda_n = \frac{2L}{n},\qquad n=1,2,3,\dots
Explicando cada símbolo:
  • \lambda_n é o comprimento de onda do modo n.
  • L é o comprimento do tubo (aqui 0,26\\ \text{m}).
  • n é o número do harmônico: n=1 é o fundamental, n=2 o segundo harmônico, etc.
  • A frequência relacionada ao comprimento de onda e à velocidade do som v é dada por
f_n = \frac{v}{\lambda_n}.
Substituindo \lambda_n obtemos a fórmula prática usada em tubos abertos:
f_n = \frac{n\,v}{2L}.
Explicando os novos símbolos:
  • f_n é a frequência do harmônico n.
  • v é a velocidade do som no ar (unidade: metros por segundo, \text{m/s}). O valor de v depende da temperatura; para condições ambientes típicas usamos v\approx 343\\ \text{m/s} (temperatura próxima de 20^\circ\text{C}). Vou usar v=343\\ \text{m/s} a menos que se queira outro valor.

Passo 4

Preparando os valores para calcular (conversões e substituição):
  • Já convertimos L:
L=0,26\\ \text{m}.
  • A constante que aparece no denominador é 2L:
2L = 2\cdot 0,26 = 0,52\\ \text{m}.
  • A fórmula geral novamente para referência:
f_n = \frac{n\cdot 343}{0,52}\\ \text{Hz}.

Passo 5

Calculando a frequência fundamental ( n=1) com explicação das contas:
  • Substituindo n=1:
f_1 = \frac{1\cdot 343}{0,52}\\ \text{Hz}.
  • Fazer a divisão passo a passo (sem pular etapas): primeiro note que 0,52 é aproximadamente meio metro, então o resultado será da ordem de algumas centenas de Hz. Agora a conta:
f_1 = \frac{343}{0,52} \approx 659{,}615\ldots\\ \text{Hz}.
Arredondando de um jeito que dá para usar numa prova sem frescura, podemos usar f_1\approx 660\\ \text{Hz}.

Passo 6

Calculando os três harmônicos seguintes (usando que, para tubo aberto, todos os harmônicos inteiros aparecem e são múltiplos inteiros da fundamental):
  • A relação simples é
f_n = n\cdot f_1.
Portanto:
  • Segundo harmônico ( n=2):
f_2 = 2\cdot f_1 \approx 2\cdot 659{,}615\ldots \approx 1\,319{,}23\\ \text{Hz}\approx 1\,320\\ \text{Hz}.
  • Terceiro harmônico ( n=3):
f_3 = 3\cdot f_1 \approx 3\cdot 659{,}615\ldots \approx 1\,978{,}85\\ \text{Hz}\approx 1\,980\\ \text{Hz}.
  • Quarto harmônico ( n=4):
f_4 = 4\cdot f_1 \approx 4\cdot 659{,}615\ldots \approx 2\,638{,}46\\ \text{Hz}\approx 2\,640\\ \text{Hz}.

Passo 7

Observações finais rápidas e incentivo:
  • Lembre-se: para tubo aberto nas duas extremidades a sequência de frequências é f_n = n\cdot f_1 com n=1,2,3,\dots — ou seja, aparecem todos os harmônicos inteiros.
  • Eu usei v=343\\ \text{m/s} (condições de 20^\circ\text{C}). Se você usar v=340\\ \text{m/s} os números mudam um pouco, mas o método é o mesmo.
  • Vai dar certo na prova — decora a fórmula \,f_n=\dfrac{n v}{2L}\, e transforma L para metros. Respira fundo, revisa esse passo a passo e manda ver!

Resposta

Frequência fundamental: 660\\ \text{Hz}
Segundo harmônico: 1\,320\\ \text{Hz}
Terceiro harmônico: 1\,980\\ \text{Hz}
Quarto harmônico: 2\,640\\ \text{Hz}

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