Qual é a frequências fundamental e os três outros harmônicos seguintes para um tubo de órgão de 26 cm de comprimento, se ele for fechado em uma das extremidades?
Passo 1
O enunciado pede as frequências: a frequência fundamental e os três harmônicos seguintes para um tubo de órgão de comprimento
que está fechado em uma das extremidades. Informações dadas e assumidas:
- Comprimento do tubo:
. - O tubo é fechado em uma extremidade (a outra está aberta).
- Vou assumir a velocidade do som no ar como
(valor padrão a ). Se a temperatura for diferente, as frequências mudam proporcionalmente.
Passo 2
Entendendo o que acontece fisicamente (passo-a-passo, sem pular etapas):
- Num tubo fechado em uma extremidade, a extremidade fechada impede o movimento do ar ali — isso corresponde a um nó de deslocamento (ponto onde a amplitude é zero).
- A extremidade aberta é onde o ar pode oscilar livremente — isso corresponde a um antinó (ponto de máxima amplitude).
- Para formar uma onda estacionária que satisfaça nó numa extremidade e antinó na outra, o menor comprimento de onda possível dentro do tubo (modo fundamental) corresponde a um quarto de comprimento de onda dentro do tubo:
. - Os modos superiores que também satisfazam nó em uma extremidade e antinó na outra acrescentam meias-ondas inteiras dentro do tubo, mas sempre resultam em apenas harmônicos de ordem ímpar. Em termos práticos, os comprimentos de onda permitidos são
onde
toma os valores ímpares
.
- Por isso um tubo fechado produz somente os harmônicos ímpares: fundamental (
), terceiro ( ), quinto ( ), sétimo ( ), etc.
Passo 3
Fórmula que vamos usar para obter as frequências:
- A relação geral entre velocidade, frequência e comprimento de onda é
onde
é a velocidade do som,
é o comprimento de onda e
é a frequência.
- Substituindo
obtemos a frequência do -ésimo modo:
com
para este tubo.
Passo 4
Calcular o fundamental (
):
- Primeiro calcule
:
- Agora a frequência fundamental:
- Fazer a divisão:
. Dividindo, obtemos aproximadamente
- Arredondando para valores práticos:
.
Passo 5
Calcular os três harmônicos seguintes (que, para tubo fechado, são
). Podemos usar que
:
- Terceiro harmônico (
):
- Quinto harmônico (
):
- Sétimo harmônico (
):
Passo 6
Comentário rápido (para fixar a ideia): o motivo prático de aparecerem só os harmônicos ímpares é que o tubo fechado só permite combinações onde entre o nó e o antinó há um número ímpar de quartas de comprimento de onda. Se o tubo fosse aberto nas duas extremidades, permitiria todos os harmônicos inteiros.
Resposta
Fundamental (
):
(aprox.
)
3.º harmônico ( ):
(aprox.
)
5.º harmônico ( ):
(aprox.
)
7.º harmônico ( ):
(aprox.
)
3.º harmônico (
5.º harmônico (
7.º harmônico (