Qual é a frequências fundamental e os três outros harmônicos seguintes para um tubo de órgão de 26 cm de comprimento, se ele for fechado em uma das extremidades?

Passo 1

O enunciado pede as frequências: a frequência fundamental e os três harmônicos seguintes para um tubo de órgão de comprimento 26\\ \text{cm} que está fechado em uma das extremidades. Informações dadas e assumidas:
  • Comprimento do tubo: L = 26\\ \text{cm} = 0{,}26\\ \text{m}.
  • O tubo é fechado em uma extremidade (a outra está aberta).
  • Vou assumir a velocidade do som no ar como v = 343\\ \text{m/s} (valor padrão a 20^\circ\text{C}). Se a temperatura for diferente, as frequências mudam proporcionalmente.

Passo 2

Entendendo o que acontece fisicamente (passo-a-passo, sem pular etapas):
  • Num tubo fechado em uma extremidade, a extremidade fechada impede o movimento do ar ali — isso corresponde a um nó de deslocamento (ponto onde a amplitude é zero).
  • A extremidade aberta é onde o ar pode oscilar livremente — isso corresponde a um antinó (ponto de máxima amplitude).
  • Para formar uma onda estacionária que satisfaça nó numa extremidade e antinó na outra, o menor comprimento de onda possível dentro do tubo (modo fundamental) corresponde a um quarto de comprimento de onda dentro do tubo: L = \lambda_1/4.
  • Os modos superiores que também satisfazam nó em uma extremidade e antinó na outra acrescentam meias-ondas inteiras dentro do tubo, mas sempre resultam em apenas harmônicos de ordem ímpar. Em termos práticos, os comprimentos de onda permitidos são
\lambda_n=\frac{4L}{n},
onde n toma os valores ímpares n=1,3,5,7,\dots.
  • Por isso um tubo fechado produz somente os harmônicos ímpares: fundamental ( n=1), terceiro ( n=3), quinto ( n=5), sétimo ( n=7), etc.

Passo 3

Fórmula que vamos usar para obter as frequências:
  • A relação geral entre velocidade, frequência e comprimento de onda é
v=\lambda f,
onde v é a velocidade do som, \lambda é o comprimento de onda e f é a frequência.
  • Substituindo \lambda_n=\dfrac{4L}{n} obtemos a frequência do n-ésimo modo:
f_n=\frac{v}{\lambda_n}=\frac{n v}{4L},
com n=1,3,5,7 para este tubo.

Passo 4

Calcular o fundamental ( n=1):
  • Primeiro calcule 4L:
4L=4\cdot 0{,}26\\ \text{m}=1{,}04\\ \text{m}.
  • Agora a frequência fundamental:
f_1=\frac{1\cdot v}{4L}=\frac{343}{1{,}04}\\ \text{Hz}.
  • Fazer a divisão: \dfrac{343}{1{,}04}=\dfrac{34300}{104}. Dividindo, obtemos aproximadamente
f_1\approx 329{,}807692\\ \text{Hz}.
  • Arredondando para valores práticos: f_1\approx 330\\ \text{Hz}.

Passo 5

Calcular os três harmônicos seguintes (que, para tubo fechado, são n=3,5,7). Podemos usar que f_n = n f_1:
  • Terceiro harmônico ( n=3):
f_3=3f_1\approx 3\cdot 329{,}807692\\ \text{Hz}\approx 989{,}423076\\ \text{Hz}\approx 989\\ \text{Hz}.
  • Quinto harmônico ( n=5):
f_5=5f_1\approx 5\cdot 329{,}807692\\ \text{Hz}\approx 1649{,}03846\\ \text{Hz}\approx 1649\\ \text{Hz}.
  • Sétimo harmônico ( n=7):
f_7=7f_1\approx 7\cdot 329{,}807692\\ \text{Hz}\approx 2308{,}653846\\ \text{Hz}\approx 2309\\ \text{Hz}.

Passo 6

Comentário rápido (para fixar a ideia): o motivo prático de aparecerem só os harmônicos ímpares é que o tubo fechado só permite combinações onde entre o nó e o antinó há um número ímpar de quartas de comprimento de onda. Se o tubo fosse aberto nas duas extremidades, permitiria todos os harmônicos inteiros.

Resposta

Fundamental ( n=1): \;329{,}8\\ \text{Hz} (aprox. \;330\\ \text{Hz})
3.º harmônico ( n=3): \;989{,}4\\ \text{Hz} (aprox. \;989\\ \text{Hz})
5.º harmônico ( n=5): \;1649{,}0\\ \text{Hz} (aprox. \;1649\\ \text{Hz})
7.º harmônico ( n=7): \;2308{,}7\\ \text{Hz} (aprox. \;2309\\ \text{Hz})

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