Um condutor esférico isolado de 10 cm de raio é carregado a 2 kV . (a) Qual a carga do condutor? (b) Qual a capacitância da esfera? (c) Qual seria a capacitância da esfera se ela fosse carregado a 6 kV ?

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  1. (a) A carga do condutor esférico isolado quando ele está a 2\\ \text{kV}.
  2. (b) A capacitância da esfera (no caso dado: raio 10\\ \text{cm}).
  3. (c) A capacitância da mesma esfera se ela fosse carregada a 6\\ \text{kV}.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
R = 10\\ \text{cm} = 0,10\\ \text{m},
V_{(a)} = 2\\ \text{kV} = 2000\\ \text{V},
V_{\text{(c)}} = 6\\ \text{kV} = 6000\\ \text{V},
a esfera é isolada (ou seja, potencial de referência é o infinito).

Passo 2

Qual relação física usar? Temos que entender a relação entre carga, potencial e capacitância para uma esfera isolada.
  • A definição de capacitância de um condutor é
C=\frac{Q}{V},
onde C é a capacitância (em farads, F), Q é a carga (em coulombs, C) e V é o potencial do condutor em relação ao infinito (em volts, V).
  • Para uma esfera isolada de raio R sabemos que o potencial no exterior da esfera é igual ao potencial de uma carga pontual Q concentrada no centro; o potencial à distância r (fora da esfera) é dado por V(r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q}{r}. Tomando r=R (superfície) e o potencial de referência no infinito =0, obtemos para a esfera:
V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{R}.
  • Reorganizando para Q ou C:
Q = 4\pi\varepsilon_0 R\,V
e, usando C=Q/V,
C = 4\pi\varepsilon_0 R.
Agora explico cada símbolo:
\varepsilon_0 é a permissividade do vácuo, \varepsilon_0 \approx 8{,}854187817\times 10^{-12}\\ \text{F/m}.
R é o raio da esfera em metros.
V é o potencial em volts.
Q é a carga em coulombs.
C é a capacitância em farads.

Passo 3

Calcular a carga quando V=2000\\ \text{V} usando
Q = 4\pi\varepsilon_0 R\,V.
Substituindo os valores (tudo em SI):
\varepsilon_0 = 8{,}854187817\times 10^{-12}\\ \text{F/m},
R = 0{,}10\\ \text{m},\qquad V = 2000\\ \text{V}.
Primeiro calcule 4\pi\varepsilon_0. Numericamente:
4\pi\varepsilon_0 \approx 4\pi\cdot 8{,}854187817\times 10^{-12} \approx 1{,}112650056\times 10^{-10}\\ \text{F/m}.
Agora
Q = (1{,}112650056\times 10^{-10})\times 0{,}10\times 2000.
Multiplicando passo a passo:
0{,}10\times 2000 = 200,
Q = 200\times 1{,}112650056\times 10^{-10} = 2{,}225300112\times 10^{-8}\\ \text{C}.
Arredondando razoavelmente:
Q \approx 2{,}23\times 10^{-8}\\ \text{C} = 22{,}3\\ \text{nC}.
Interpretação rápida: a esfera de 10\\ \text{cm} a 2\\ \text{kV} guarda cerca de 22{,}3 nanocoulombs.

Passo 4

Calcular a capacitância da esfera com a fórmula já dada:
C = 4\pi\varepsilon_0 R.
Substituindo 4\pi\varepsilon_0 \approx 1{,}112650056\times 10^{-10}\\ \text{F/m} e R=0{,}10\\ \text{m}:
C = 1{,}112650056\times 10^{-10}\times 0{,}10 = 1{,}112650056\times 10^{-11}\\ \text{F}.
Arredondando:
C \approx 1{,}11\times 10^{-11}\\ \text{F}.
Convertendo para picofarad ( 1\\ \text{pF}=10^{-12}\\ \text{F}):
C \approx 11{,}13\\ \text{pF}.
Comentário didático: repare que C depende só do raio R e de constantes do meio ( \varepsilon_0), não depende de Q nem de V. Ou seja, a capacitância é uma característica geométrica do condutor no meio em que está.

Passo 5

Responder a (c): “Qual seria a capacitância da esfera se ela fosse carregada a 6\\ \text{kV}?”
Pelo que vimos no passo anterior, a capacitância C é independente do potencial aplicado: é uma propriedade geométrica (para uma esfera isolada no vácuo, depende só de R e \varepsilon_0). Logo, mesmo que a tensão mude para 6000\\ \text{V}, a capacitância continua a mesma:
C = 4\pi\varepsilon_0 R \approx 1{,}11\times 10^{-11}\\ \text{F}\\ (\approx 11{,}13\\ \text{pF}).
(Apenas por curiosidade didática: a carga correspondente a 6000\\ \text{V} seria Q = C V \approx 1{,}11265\times 10^{-11}\times 6000 \approx 6{,}68\times 10^{-8}\\ \text{C}, ou cerca de 66{,}8\\ \text{nC}. Mas isto é só extra — a pergunta pedia a capacitância.)

Resposta

(a) Q \approx 2,23\times 10^{-8}\\ \text{C} \,(=22{,}3\\ \text{nC})
(b) C \approx 1,11\times 10^{-11}\\ \text{F} \,(=11{,}13\\ \text{pF})
(c) C \approx 1,11\times 10^{-11}\\ \text{F} \,(=11{,}13\\ \text{pF})

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