Um condutor esférico isolado de 10 cm de raio é carregado a 2 kV . (a) Qual a carga do condutor? (b) Qual a capacitância da esfera? (c) Qual seria a capacitância da esfera se ela fosse carregado a 6 kV ?
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- (a) A carga do condutor esférico isolado quando ele está a
. - (b) A capacitância da esfera (no caso dado: raio
). - (c) A capacitância da mesma esfera se ela fosse carregada a
.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
a esfera é isolada (ou seja, potencial de referência é o infinito).
Passo 2
Qual relação física usar? Temos que entender a relação entre carga, potencial e capacitância para uma esfera isolada.
- A definição de capacitância de um condutor é
onde
é a capacitância (em farads, F),
é a carga (em coulombs, C) e
é o potencial do condutor em relação ao infinito (em volts, V).
- Para uma esfera isolada de raio
sabemos que o potencial no exterior da esfera é igual ao potencial de uma carga pontual concentrada no centro; o potencial à distância (fora da esfera) é dado por . Tomando (superfície) e o potencial de referência no infinito , obtemos para a esfera:
- Reorganizando para
ou :
e, usando
,
Agora explico cada símbolo:
é a permissividade do vácuo,
.
é o raio da esfera em metros.
é o potencial em volts.
é a carga em coulombs.
é a capacitância em farads.
Passo 3
Calcular a carga quando
usando
Substituindo os valores (tudo em SI):
Primeiro calcule
. Numericamente:
Agora
Multiplicando passo a passo:
Arredondando razoavelmente:
Interpretação rápida: a esfera de
a
guarda cerca de
nanocoulombs.
Passo 4
Calcular a capacitância da esfera com a fórmula já dada:
Substituindo
e
:
Arredondando:
Convertendo para picofarad (
):
Comentário didático: repare que
depende só do raio
e de constantes do meio (
), não depende de
nem de
. Ou seja, a capacitância é uma característica geométrica do condutor no meio em que está.
Passo 5
Responder a (c): “Qual seria a capacitância da esfera se ela fosse carregada a
?”
Pelo que vimos no passo anterior, a capacitância
é independente do potencial aplicado: é uma propriedade geométrica (para uma esfera isolada no vácuo, depende só de
e
). Logo, mesmo que a tensão mude para
, a capacitância continua a mesma:
(Apenas por curiosidade didática: a carga correspondente a
seria
, ou cerca de
. Mas isto é só extra — a pergunta pedia a capacitância.)
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)