Uma função f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} é dita de Lipschitz se dados x, y \in[0,1] existe uma constante \kappa positiva tal que
|f(x)-f(y)| \leq \kappa|x-y|
  • Prove que f é limitada.
  • Prove que f é integrável.
  • Prove que \left|\int_{0}^{1} f(x) d x-\frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} f\left(\frac{j}{n}\right)\right| \leq \frac{\kappa}{2 n}.

Passo 1

O enunciado diz que f:[0,1]\to\mathbb{R} satisfaz a condição de Lipschitz
|f(x)-f(y)|\le\kappa\,|x-y|
para alguma \kappa>0, e pede três coisas: (1) mostrar que f é limitada; (2) mostrar que f é (Riemann) integrável em [0,1]; (3) provar que
\Bigl|\int_{0}^{1}f(x)\,dx \;-\;\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}f\Bigl(\tfrac{j}{n}\Bigr)\Bigr|\le\frac{\kappa}{2n}.
Vamos usar o fato de que Lipschitz implica uniformemente contínua e ir desenvolvendo cada parte.

Passo 2

Para mostrar que f é limitada, basta fixar um ponto de referência, digamos y=0. Então para todo x\in[0,1] valem:
|f(x)-f(0)|\le\kappa\,|x-0|=\kappa\,x\le\kappa.
Logo
|f(x)|\le |f(0)| + \kappa,
o que prova que f é limitada em [0,1].

Passo 3

Como f é Lipschitz, ela é em particular uniformemente contínua em [0,1]. Um teorema clássico diz que toda função real uniformemente contínua e limitada em um intervalo fechado e limitado é Riemann-integrável nesse intervalo. Concluímos então que f é (Riemann) integrável em [0,1].

Passo 4

Para estimar o erro entre a integral e a soma de pontos x_j=j/n, escrevemos
\int_{0}^{1}f(x)\,dx =\sum_{j=1}^{n}\int_{(j-1)/n}^{j/n}f(x)\,dx \quad\text{e}\quad \frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}f\Bigl(\tfrac{j}{n}\Bigr) =\sum_{j=1}^{n}\int_{(j-1)/n}^{j/n}f\Bigl(\tfrac{j}{n}\Bigr)\,dx.
Então
\Bigl|\int_{0}^{1}f(x)\,dx - \tfrac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}f\bigl(\tfrac{j}{n}\bigr)\Bigr| \le \sum_{j=1}^{n}\int_{(j-1)/n}^{j/n}\bigl|f(x)-f(\tfrac{j}{n})\bigr|\,dx.
Pelo Lipschitz,
\bigl|f(x)-f(\tfrac{j}{n})\bigr|\le\kappa\bigl|x-\tfrac{j}{n}\bigr|.
Logo cada termo satisfaz
\int_{(j-1)/n}^{j/n}\bigl|x-\tfrac{j}{n}\bigr|\,dx =\int_{0}^{1/n}u\,du =\frac{1}{2n^2}.
Somando n contribuições idênticas obtém-se o erro total
\le n\;\frac{\kappa}{2n^2} =\frac{\kappa}{2n},
como pedido.

Resposta

f é limitada pois \lvert f(x)\rvert\le \lvert f(0)\rvert+\kappa. f é (Riemann) integrável porque é uniformemente contínua e limitada em [0,1].
E finalmente
\Bigl|\int_{0}^{1}f(x)\,dx - \tfrac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}f\bigl(\tfrac{j}{n}\bigr)\Bigr|\le\frac{\kappa}{2n}.

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