Vamos usar o fato de que Lipschitz implica uniformemente contínua e ir desenvolvendo cada parte.
Passo 2
Para mostrar que f é limitada, basta fixar um ponto de referência, digamos y=0. Então para todo x\in[0,1] valem:
|f(x)-f(0)|\le\kappa\,|x-0|=\kappa\,x\le\kappa.
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|f(x)|\le |f(0)| + \kappa,
o que prova que f é limitada em [0,1].
Passo 3
Como f é Lipschitz, ela é em particular uniformemente contínua em [0,1]. Um teorema clássico diz que toda função real uniformemente contínua e limitada em um intervalo fechado e limitado é Riemann-integrável nesse intervalo. Concluímos então que f é (Riemann) integrável em [0,1].
Passo 4
Para estimar o erro entre a integral e a soma de pontos x_j=j/n, escrevemos
Somando n contribuições idênticas obtém-se o erro total
\le n\;\frac{\kappa}{2n^2} =\frac{\kappa}{2n},
como pedido.
Resposta
f é limitada pois \lvert f(x)\rvert\le \lvert f(0)\rvert+\kappa. f é (Riemann) integrável porque é uniformemente contínua e limitada em [0,1].
E finalmente