Uma função f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} é dita lipschitziana se dados x, y \in[0,1] existe uma constante \kappa positiva tal que
|f(x)-f(y)| \leq \kappa|x-y|
  • Prove que f(x)=\cos x é lipschitziana.
  • Seja f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} limitada é integrável. Prove que F(x)=\int_{a}^{x} f(t) d t é lipschitziana.

Passo 1

O enunciado define que uma função f:[0,1]\to\mathbb{R} é lipschitziana se existe \kappa>0 tal que para todo x,y\in[0,1] vale
|f(x)-f(y)|\le\kappa\,|x-y|.
Precisamos então:
  1. Mostrar que f(x)=\cos x em [0,1] satisfaz essa condição.
  2. Dada qualquer f:[a,b]\to\mathbb{R} limitada e integrável, definir
F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt
e provar que F é lipschitziana em [a,b].

Passo 2

Para f(x)=\cos x em [0,1] aplicamos o Teorema do Valor Médio. Como \cos x é derivável, para quaisquer x,y\in[0,1] existe \xi entre x e y tal que
\cos x - \cos y = f'( \xi)\,(x - y).
Mas f'(x)=-\sin x, logo |f'(\xi)|=|\sin \xi|\le1. Assim
|\cos x - \cos y| \;=\; |f'(\xi)|\,|x-y| \;\le\; 1\cdot|x-y|.
Portanto \cos x é lipschitziana com constante \kappa=1.

Passo 3

Agora seja f:[a,b]\to\mathbb{R} limitada e integrável. Então existe M>0 tal que
|f(t)|\le M \quad\text{para todo }t\in[a,b].
Defina
F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt.
Para quaisquer x,y\in[a,b], pela propriedade da integral de Darboux ou de Riemann temos
F(x)-F(y) =\int_{y}^{x}f(t)\,dt \quad\Longrightarrow\quad |F(x)-F(y)| \le\int_{\min(x,y)}^{\max(x,y)}|f(t)|\,dt \le M\,|x-y|.

Resposta

– Para f(x)=\cos x, basta escolher \kappa=1.
– Para F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt com f limitada por M, basta escolher \kappa=M.

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