Uma função
é dita lipschitziana se dados
existe uma constante
positiva tal que
- Prove que
é lipschitziana.
- Seja
limitada é integrável. Prove que
é lipschitziana.
Passo 1
O enunciado define que uma função
é lipschitziana se existe
tal que para todo
vale
Precisamos então:
- Mostrar que
em satisfaz essa condição. - Dada qualquer
limitada e integrável, definir
e provar que
é lipschitziana em
.
Passo 2
Para
em
aplicamos o Teorema do Valor Médio. Como
é derivável, para quaisquer
existe
entre
e
tal que
Mas
, logo
. Assim
Portanto
é lipschitziana com constante
.
Passo 3
Agora seja
limitada e integrável. Então existe
tal que
Defina
Para quaisquer
, pela propriedade da integral de Darboux ou de Riemann temos
Resposta
– Para
, basta escolher
.
– Para com
limitada por
, basta escolher
.
– Para