Seja
uma função não identicamente nula que cumpre a seguinte relação:
.
Se
for contínua, então
, onde
e
são constantes.
Se
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todas as funções contínuas
, não identicamente nulas, que satisfazem
para todo
. O conteúdo envolvido é a equação funcional exponencial e o teorema de Cauchy para funções contínuas.
Passo 2
Vamos primeiro avaliar
. Usando a condição com
, temos
Como
nunca atinge zero (imagem em
), a única solução é
Passo 3
Agora definimos uma nova função
por
Como
e
é contínua,
é bem definida e contínua. Além disso, usando a equação funcional de
, obtemos
ou seja,
satisfaz a equação de Cauchy aditiva.
Passo 4
Pelo teorema de Cauchy para funções contínuas, toda solução de
é da forma
onde
é uma constante real.
Passo 5
Voltando a
, temos
Como
, não há fator multiplicativo extra — mas, de modo geral, podemos escrever
com
.
Resposta
onde
e
são constantes (e, pela condição
, temos
, ficando
).