Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{+}uma função não identicamente nula que cumpre a seguinte relação: f(x+\\ y)=f(x) f(y) \forall x, y \in \mathbb{R}.
Se f for contínua, então f(x)=c \exp (a x), onde c e a são constantes.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as funções contínuas f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^+, não identicamente nulas, que satisfazem
f(x+y)=f(x)\,f(y)
para todo x,y\in\mathbb{R}. O conteúdo envolvido é a equação funcional exponencial e o teorema de Cauchy para funções contínuas.

Passo 2

Vamos primeiro avaliar f(0). Usando a condição com x=y=0, temos
f(0+0)=f(0)\,f(0)\quad\Longrightarrow\quad f(0)=f(0)^2.
Como f nunca atinge zero (imagem em \mathbb{R}^+), a única solução é
f(0)=1.

Passo 3

Agora definimos uma nova função g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} por
g(x)=\ln\bigl(f(x)\bigr).
Como f(x)>0 e f é contínua, g é bem definida e contínua. Além disso, usando a equação funcional de f, obtemos
g(x+y)=\ln\bigl(f(x+y)\bigr)=\ln\bigl(f(x)f(y)\bigr) =\ln\bigl(f(x)\bigr)+\ln\bigl(f(y)\bigr)=g(x)+g(y),
ou seja, g satisfaz a equação de Cauchy aditiva.

Passo 4

Pelo teorema de Cauchy para funções contínuas, toda solução de
g(x+y)=g(x)+g(y)
é da forma
g(x)=a\,x,
onde a é uma constante real.

Passo 5

Voltando a f, temos
f(x)=\exp\bigl(g(x)\bigr)=\exp\bigl(a\,x\bigr).
Como f(0)=1, não há fator multiplicativo extra — mas, de modo geral, podemos escrever
f(x)=c\,\exp(a\,x),
com c=f(0)=1.

Resposta

f(x)=c\,\exp(a\,x),
onde c e a são constantes (e, pela condição f(0)=1, temos c=1, ficando f(x)=\exp(a\,x)).

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