Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função contínua tal que f(x+y)=f(x)+f(y) \forall x, y \in \mathbb{R}. Se f(1)=1 mostre que f(x)=x, \forall x \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado define uma função contínua f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R} que satisfaz
f(x+y)=f(x)+f(y)\quad\forall x,y\in\mathbb{R},
além de f(1)=1. O objetivo é mostrar que
f(x)=x\quad\forall x\in\mathbb{R}.
Para resolver, vamos usar primeiro a aditividade para determinar f em inteiros e racionais, e depois a continuidade para estender ao caso real.

Passo 2

Determinar f em números inteiros.
Primeiro, tomando x=y=0 na equação funcional, temos
f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)\,\Longrightarrow\,f(0)=0.
Para n\in\mathbb{N}, escrevendo n=1+1+\cdots+1 (soma n vezes), a aditividade dá
f(n)=f(1+1+\cdots+1)=f(1)+\cdots+f(1)=n\,f(1)=n\cdot1=n.
Para n\in\mathbb{N} negativo, use 0=f(0)=f(n+(-n))=f(n)+f(-n), logo
f(-n)=-f(n)=-n.
Assim, f(k)=k para todo k\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Determinar f em números racionais.
Seja x=\tfrac{p}{q} com p\in\mathbb{Z} e q\in\mathbb{N}. Pela aditividade,
f(q\,x)=f\bigl(\underbrace{x+\cdots+x}_{q\text{ vezes}}\bigr)=q\,f(x).
Mas q\,x=p, então
f(p)=q\,f\bigl(\tfrac{p}{q}\bigr)\quad\Longrightarrow\quad q\,f\bigl(\tfrac{p}{q}\bigr)=p \quad\Longrightarrow\quad f\bigl(\tfrac{p}{q}\bigr)=\tfrac{p}{q}=x.
Logo f(r)=r para todo r\in\mathbb{Q}.

Passo 4

Extensão para todos os reais por continuidade.
Sabemos que \mathbb{Q} é denso em \mathbb{R}. Dado x\in\mathbb{R}, escolha uma sequência (r_n)\subset\mathbb{Q} com r_n\to x. Como f é contínua,
f(x)=\lim_{n\to\infty}f(r_n)=\lim_{n\to\infty}r_n=x.
Portanto f(x)=x para todo x\in\mathbb{R}.

Resposta

f(x)=x para todo x\in\mathbb{R}.

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