Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função contínua tal que f(x+y)=f(x)+f(y) \forall x, y \in \mathbb{R}. Se f(1)=1 mostre que f(x)=x, \forall x \in \mathbb{R}.
Passo 1
O enunciado define uma função contínua f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R} que satisfaz
f(x+y)=f(x)+f(y)\quad\forall x,y\in\mathbb{R},
além de f(1)=1. O objetivo é mostrar que
f(x)=x\quad\forall x\in\mathbb{R}.
Para resolver, vamos usar primeiro a aditividade para determinar f em inteiros e racionais, e depois a continuidade para estender ao caso real.
Passo 2
Determinar f em números inteiros.
Primeiro, tomando x=y=0 na equação funcional, temos
f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)\,\Longrightarrow\,f(0)=0.
Para n\in\mathbb{N}, escrevendo n=1+1+\cdots+1 (soma n vezes), a aditividade dá
Extensão para todos os reais por continuidade.
Sabemos que \mathbb{Q} é denso em \mathbb{R}. Dado x\in\mathbb{R}, escolha uma sequência (r_n)\subset\mathbb{Q} com r_n\to x. Como f é contínua,