A função y(x, t)=15,0 cm cos (pi x-15 pi t), com x em metros e t em segundos, descreve uma onda em uma corda esticada. Quais são a velocidade e a aceleração transversal de um ponto da corda no instante em que o ponto possui um deslocamento y=12,0 cm ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver este exercício de ondas em uma corda esticada! A gente tem a função que descreve a posição vertical de um ponto na corda ao longo do tempo:
y(x, t) = 15,0, cm cos(pi x - 15pi t)
Aqui, $ x $ está em metros e $ t $ em segundos. O que a gente precisa descobrir é a velocidade e a aceleração transversal desse ponto quando ele está deslocado $ y = 12,0, cm $. Para isso, vamos usar derivadas da função $ y(x, t) $ em relação ao tempo $ t $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade transversal é a derivada da posição $ y $ em relação ao tempo $ t $. Ou seja:
y
Vamos calcular essa derivada para a função dada:
t
Usando a regra da cadeia, temos:
vy = partial ypartial t
Simplificando:
y(x, t) = 15,0, cm cos(pi x - 15pi t)

Passo 3

Agora, a aceleração transversal é a derivada da velocidade $ v_y $ em relação ao tempo $ t $, ou seja:
vy
Vamos derivar a expressão que encontramos para $ v_y $:
t
Novamente, aplicando a regra da cadeia:
ay = partial vypartial t
Simplificando:
vy

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os valores de $ v_y $ e $ a_y $ quando $ y = 12,0, cm $. Vamos usar a função original:
vy
Sabemos que:
ay
Dividindo ambos os lados por 15,0:
y = 12,0, cm
Então, $ \pi x - 15\pi t = \arccos(0,8) $. Mas como a função seno e cosseno são periódicas, para simplificar, vamos considerar que:
y(x, t) = 15,0, cm cos(pi x - 15pi t)
onde $ \cos(\theta) = 0,8 $ e $ \sin(\theta) = \sqrt{1 - 0,8^2} = \sqrt{0,36} = 0,6 $

Passo 5

Substituindo $ \cos(\theta) = 0,8 $ e $ \sin(\theta) = 0,6 $ nas expressões de $ v_y $ e $ a_y $:
cos(theta) = 0,8
sin(theta) = 0,6

Resposta

A velocidade transversal é $ v_y = -135\pi, cm/s $ e a aceleração transversal é $ a_y = -2700\pi^2, cm/s^2 $ no instante em que o deslocamento $ y = 12,0, cm $.

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