A função
, com x em metros e t em segundos, descreve uma onda em uma corda esticada. Quais são a velocidade e a aceleração transversal de um ponto da corda no instante em que o ponto possui um deslocamento
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver este exercício de ondas em uma corda esticada! A gente tem a função que descreve a posição vertical de um ponto na corda ao longo do tempo:
Aqui, $ x $ está em metros e $ t $ em segundos. O que a gente precisa descobrir é a velocidade e a aceleração transversal desse ponto quando ele está deslocado $ y = 12,0, cm $. Para isso, vamos usar derivadas da função $ y(x, t) $ em relação ao tempo $ t $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade transversal é a derivada da posição $ y $ em relação ao tempo $ t $. Ou seja:
Vamos calcular essa derivada para a função dada:
Usando a regra da cadeia, temos:
Simplificando:
Passo 3
Agora, a aceleração transversal é a derivada da velocidade $ v_y $ em relação ao tempo $ t $, ou seja:
Vamos derivar a expressão que encontramos para $ v_y $:
Novamente, aplicando a regra da cadeia:
Simplificando:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os valores de $ v_y $ e $ a_y $ quando $ y = 12,0, cm $. Vamos usar a função original:
Sabemos que:
Dividindo ambos os lados por 15,0:
Então, $ \pi x - 15\pi t = \arccos(0,8) $. Mas como a função seno e cosseno são periódicas, para simplificar, vamos considerar que:
onde $ \cos(\theta) = 0,8 $ e $ \sin(\theta) = \sqrt{1 - 0,8^2} = \sqrt{0,36} = 0,6 $
Passo 5
Substituindo $ \cos(\theta) = 0,8 $ e $ \sin(\theta) = 0,6 $ nas expressões de $ v_y $ e $ a_y $:
Resposta
A velocidade transversal é $ v_y = -135\pi, cm/s $ e a aceleração transversal é $ a_y = -2700\pi^2, cm/s^2 $ no instante em que o deslocamento $ y = 12,0, cm $.