Uma onda estacionária em uma corda é descrita por:
em unidades do S.I. Para
, (a) determine o valor de x para o primeiro, segundo e terceiro menor nó da onda estacionária.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma onda estacionária na forma da função $ y(x, t) = 0,040 \sin(5\pi x) \cos(40\pi t) $. O conteúdo principal aqui envolve ondas estacionárias e a identificação de nós nessa onda. Para resolver, vamos precisar entender o que são nós em uma onda estacionária e como encontrá-los usando a função fornecida.
Passo 2
Vamos começar identificando o que são nós em uma onda estacionária. Nós são pontos na corda onde a amplitude da onda é sempre zero, ou seja, $ y(x, t) = 0 $ para todos os tempos $ t $. Na função dada, isso ocorre quando o termo $ \sin(5\pi x) = 0 $.
Passo 3
Agora, precisamos resolver a equação $ \sin(5\pi x) = 0 $. Sabemos que o seno é igual a zero quando seu argumento é múltiplo de $ \pi $. Portanto:
onde $ n $ é um número inteiro.
Passo 4
Simplificando a equação acima para encontrar $ x $:
Então, os nós estão localizados em $ x = \frac{n}{5} $, onde $ n $ é um inteiro.
Passo 5
Agora, vamos encontrar os primeiros três nós para $ x \geq 0 $. Selecionamos os valores positivos de $ n $:
- Primeiro nó: $ n = 1 $
- Segundo nó: $ n = 2 $
- Terceiro nó: $ n = 3 $
Resposta
Os valores de $ x $ para o primeiro, segundo e terceiro menor nó da onda estacionária são: