Um fio não uniforme de comprimento L de massa M tem densidade linear de massa mu=k x, onde x é a distância a uma extremidade do fio e k uma constante. (b) Mostre que o tempo t necessário para que um pulso gerado em uma das extremidades do fio chegue à outra extremidade é t=raiz8 M L / 9 F, onde Fé a tensão no fio.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e o que precisamos para resolver. Temos um fio não uniforme com comprimento $ L $ e massa $ M $. A densidade linear de massa é dada por $ \mu = kx $, onde $ x $ é a distância a partir de uma extremidade do fio e $ k $ é uma constante. A parte (b) quer que a gente mostre que o tempo $ t $ necessário para um pulso gerado em uma extremidade chegar à outra é $ t = \sqrt{\frac{8ML}{9F}} $, onde $ F $ é a tensão no fio.
Para resolver isso, vamos precisar entender como a densidade linear de massa afeta a velocidade do pulso e como integrar ao longo do comprimento do fio para encontrar o tempo total.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade de um pulso em um fio é dada pela fórmula:
v = raizFmu(x)
Aqui, $ F $ é a tensão no fio e $ \mu(x) $ é a densidade linear de massa que varia com $ x $.
Como a densidade é $ \mu = kx $, substituímos na fórmula:
F

Passo 3

Agora, para encontrar o tempo total $ t $ que o pulso leva para percorrer todo o comprimento $ L $ do fio, precisamos integrar o inverso da velocidade ao longo do comprimento:
t

Passo 4

Simplificando a integral:
t = raizkF integral0^L raizx , dx
A integral de $ \sqrt{x} $ em relação a $ x $ é:
raizx

Passo 5

Aplicando os limites de integração:
t = raizkF [ 23 x^3/2 ]0^L = raizkF cdot 23 L^3/2

Passo 6

Agora, precisamos relacionar a constante $ k $ com a massa total $ M $ e o comprimento $ L $. A massa total do fio é:
k
Resolvendo para $ k $:
M

Passo 7

Substituindo $ k $ na expressão para $ t $:
k

Passo 8

Simplificando a expressão:
t = 23 raiz2MF cdot L^3/2L = 23 raiz2MF cdot L^1/2
t = 23 raiz2MLF
t = raiz8ML9F

Resposta

O tempo necessário para o pulso percorrer todo o fio é $ t = \sqrt{\frac{8ML}{9F}} $.

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