Um fio não uniforme de comprimento L de massa
tem densidade linear de massa
, onde
é a distância a uma extremidade do fio e
uma constante. (b) Mostre que o tempo
necessário para que um pulso gerado em uma das extremidades do fio chegue à outra extremidade é
, onde Fé a tensão no fio.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e o que precisamos para resolver. Temos um fio não uniforme com comprimento $ L $ e massa $ M $. A densidade linear de massa é dada por $ \mu = kx $, onde $ x $ é a distância a partir de uma extremidade do fio e $ k $ é uma constante. A parte (b) quer que a gente mostre que o tempo $ t $ necessário para um pulso gerado em uma extremidade chegar à outra é $ t = \sqrt{\frac{8ML}{9F}} $, onde $ F $ é a tensão no fio.
Para resolver isso, vamos precisar entender como a densidade linear de massa afeta a velocidade do pulso e como integrar ao longo do comprimento do fio para encontrar o tempo total.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade de um pulso em um fio é dada pela fórmula:
Aqui, $ F $ é a tensão no fio e $ \mu(x) $ é a densidade linear de massa que varia com $ x $.
Como a densidade é $ \mu = kx $, substituímos na fórmula:
Passo 3
Agora, para encontrar o tempo total $ t $ que o pulso leva para percorrer todo o comprimento $ L $ do fio, precisamos integrar o inverso da velocidade ao longo do comprimento:
Passo 4
Simplificando a integral:
A integral de $ \sqrt{x} $ em relação a $ x $ é:
Passo 5
Aplicando os limites de integração:
Passo 6
Agora, precisamos relacionar a constante $ k $ com a massa total $ M $ e o comprimento $ L $. A massa total do fio é:
Resolvendo para $ k $:
Passo 7
Substituindo $ k $ na expressão para $ t $:
Passo 8
Simplificando a expressão:
Resposta
O tempo necessário para o pulso percorrer todo o fio é $ t = \sqrt{\frac{8ML}{9F}} $.