(b) Mostre que a taxa com a qual a energia potencial elástica é transportada pela onda é dado por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a taxa com a qual a energia potencial elástica é transportada por uma onda é dada pela fórmula:
Conteúdo da matéria: Vamos trabalhar com conceitos de ondas mecânicas, especificamente sobre como a energia é transportada por essas ondas. Precisaremos entender energia potencial elástica, a relação entre velocidade, frequência angular e amplitude da onda.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é energia potencial elástica em uma onda. Para uma onda em uma corda, a energia total por unidade de comprimento é a soma da energia potencial e da energia cinética. Aqui, focaremos na energia potencial elástica.
A energia potencial elástica $ U $ armazenada em uma pequena parte da corda é dada por:
onde:
- $ T $ é a tensão na corda,
- $ y $ é o deslocamento transversal da corda,
- $ \frac{\partial y}{\partial x} $ é a derivada parcial de $ y $ em relação a $ x $, representando a inclinação da corda.
Passo 3
Agora, precisamos expressar $ y $ para uma onda harmônica que se propaga na direção $ x $ com velocidade $ v $. A expressão geral para tal onda é:
onde:
- $ Y_{m} $ é a amplitude máxima da onda,
- $ k $ é o número de onda,
- $ \omega $ é a frequência angular,
- $ t $ é o tempo.
Passo 4
Vamos calcular a derivada parcial de $ y $ em relação a $ x $:
Substituindo na expressão da energia potencial:
Passo 5
Agora, para encontrar a taxa de variação da energia potencial com o tempo, derivamos $ U $ em relação a $ t $:
Aplicando a regra da cadeia:
Usando a identidade trigonométrica $ 2 \sin \theta \cos \theta = \sin(2\theta) $:
Passo 6
Sabemos que a relação entre a velocidade da onda $ v $, o número de onda $ k $ e a frequência angular $ \omega $ é:
Além disso, a tensão $ T $ na corda está relacionada com a densidade linear de massa $ \mu $ e a velocidade da onda pela fórmula:
Substituindo $ T = \mu v^{2} $ na expressão de $ \frac{d U}{d t} $:
Substituindo $ k = \frac{\omega}{v} $:
Resposta
A taxa com a qual a energia potencial elástica é transportada pela onda é dada por: