(b) Mostre que a taxa com a qual a energia potencial elástica é transportada pela onda é dado por d Ud t= 12 mu v omega^2 Ym^2 sen^2(k x-omega t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a taxa com a qual a energia potencial elástica é transportada por uma onda é dada pela fórmula:
d Ud t = 12 mu v omega^2 Ym^2 sin^2(k x - omega t)
Conteúdo da matéria: Vamos trabalhar com conceitos de ondas mecânicas, especificamente sobre como a energia é transportada por essas ondas. Precisaremos entender energia potencial elástica, a relação entre velocidade, frequência angular e amplitude da onda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é energia potencial elástica em uma onda. Para uma onda em uma corda, a energia total por unidade de comprimento é a soma da energia potencial e da energia cinética. Aqui, focaremos na energia potencial elástica.
A energia potencial elástica $ U $ armazenada em uma pequena parte da corda é dada por:
U
onde:
  • $ T $ é a tensão na corda,
  • $ y $ é o deslocamento transversal da corda,
  • $ \frac{\partial y}{\partial x} $ é a derivada parcial de $ y $ em relação a $ x $, representando a inclinação da corda.

Passo 3

Agora, precisamos expressar $ y $ para uma onda harmônica que se propaga na direção $ x $ com velocidade $ v $. A expressão geral para tal onda é:
y
onde:
  • $ Y_{m} $ é a amplitude máxima da onda,
  • $ k $ é o número de onda,
  • $ \omega $ é a frequência angular,
  • $ t $ é o tempo.

Passo 4

Vamos calcular a derivada parcial de $ y $ em relação a $ x $:
y
Substituindo na expressão da energia potencial:
x
partial ypartial x = Ym k cos(k x - omega t)

Passo 5

Agora, para encontrar a taxa de variação da energia potencial com o tempo, derivamos $ U $ em relação a $ t $:
U
Aplicando a regra da cadeia:
t
d Ud t = dd t ( 12 T Ym^2 k^2 cos^2(k x - omega t) )
Usando a identidade trigonométrica $ 2 \sin \theta \cos \theta = \sin(2\theta) $:
d Ud t = 12 T Ym^2 k^2 cdot 2 cos(k x - omega t) cdot (-sin(k x - omega t)) cdot (-omega)

Passo 6

Sabemos que a relação entre a velocidade da onda $ v $, o número de onda $ k $ e a frequência angular $ \omega $ é:
v
Além disso, a tensão $ T $ na corda está relacionada com a densidade linear de massa $ \mu $ e a velocidade da onda pela fórmula:
k
Substituindo $ T = \mu v^{2} $ na expressão de $ \frac{d U}{d t} $:
omega
Substituindo $ k = \frac{\omega}{v} $:
v = omegak
T

Resposta

A taxa com a qual a energia potencial elástica é transportada pela onda é dada por:
d Ud t = 12 mu v omega^2 Ym^2 sin^2(k x - omega t)

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