Sejam (xn) e (yn) sequências de números reais e tais que xn <= yn para n suficientemente grande. Mostre que:
(a) se ( xn ) for monótona e limitada inferiormente e se ( yn ) for convergente, então ( xn ) será convergente;
(b) se ambas as sequências forem convergentes, então lim xn <= lim yn. Dê um exemplo de duas sequências convergentes tais que xn<yn para n suficientemente grande, mas lim xn=lim yn;
(c) se 0 <= xn para todo n in N então a convergência de Sigma yn implica a convergência de Sigma xn enquanto a divergência de Sigma xn implica a divergência de Sigma yn;
(d) se 0 <= xn para todo n in N e Sigma xn^2 e Sigma yn^2 convergirem, então Sigma(xn yn) converge.

Passo 1

O enunciado fala de duas sequências reais (xn) e (yn) tais que existe N com
xn <= yn, forall n>= N
Queremos usar: o Teorema da Convergência Monótona, propriedades de limites para desigualdades, o teste de comparação de séries positivas e a desigualdade de Cauchy–Schwarz.

Passo 2

Prova de (a). Suponha que (xn) seja monótona (sem perda, crescente) e limitada inferiormente, e que (yn) converja. Então (yn) é limitada, isto é, existe M>0 tal que lvert ynrvert<= M para todo n. Como para n grande xn<= yn, segue xn<= M. Logo (xn) é limitada superiormente por M e inferiormente por hipótese. Como é monótona crescente e limitada acima, pelo Teorema da Convergência Monótona ela converge.

Passo 3

Prova de (b). Sejam
limntoinftyxn = a, limntoinftyyn = b,
e xn<= yn para n grande. Tomando limite em ntoinfty na desigualdade, obtemos
a <= b
Exemplo em que xn<yn mas a=b: escolha
xn = 1n, yn = 2n
Então para todo n>=1 tem xn<yn e lim xn = lim yn = 0.

Passo 4

Prova de (c). Seja 0<= xn<= yn para n grande. Se sum yn converge, pelo teste de comparação de séries positivas concluímos que sum xn também converge. Por outro lado, se sum xn diverge, então não há como sum yn convergir, pois caso convergisse, de novo comparando xn<= yn chegaríamos a uma contradição.

Passo 5

Prova de (d). Suponha 0<= xn para todo n e que sum xn^2 e sum yn^2 sejam convergentes. Para cada N aplicamos Cauchy–Schwarz:
sumn=1^N lvert xnynrvert ;<=; raizsumn=1^N xn^2,raizsumn=1^N yn^2 ;<=; raizsumn=1^infty xn^2,raizsumn=1^infty yn^2 <infty
Como as somas parciais de sum lvert xnynrvert ficam uniformemente limitadas, sum lvert xnynrvert converge, isto é, sum xnyn converge absolutamente.

Resposta

(a) Pelo Teorema da Convergência Monótona, (xn) converge.
(b) lim xn<=lim yn. Exemplo: xn=1/n, yn=2/n.
(c) Vale o teste de comparação: sum yn converge Rightarrowsum xn converge; sum xn diverge Rightarrowsum yn diverge.
(d) Usa-se Cauchy–Schwarz para mostrar convergência absoluta de sum xnyn.

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