Sejam e sequências de números reais e tais que para suficientemente grande. Mostre que:
(a) se ( ) for monótona e limitada inferiormente e se ( ) for convergente, então ( ) será convergente;
(b) se ambas as sequências forem convergentes, então . Dê um exemplo de duas sequências convergentes tais que para suficientemente grande, mas ;
(c) se para todo então a convergência de implica a convergência de enquanto a divergência de implica a divergência de ;
(d) se para todo e e convergirem, então converge.
Passo 1
O enunciado fala de duas sequências reais e tais que existe com
Queremos usar: o Teorema da Convergência Monótona, propriedades de limites para desigualdades, o teste de comparação de séries positivas e a desigualdade de Cauchy–Schwarz.
Passo 2
Prova de (a). Suponha que seja monótona (sem perda, crescente) e limitada inferiormente, e que converja. Então é limitada, isto é, existe tal que para todo . Como para grande , segue . Logo é limitada superiormente por e inferiormente por hipótese. Como é monótona crescente e limitada acima, pelo Teorema da Convergência Monótona ela converge.
Passo 3
Prova de (b). Sejam
e para grande. Tomando limite em na desigualdade, obtemos
Exemplo em que mas : escolha
Então para todo tem e .
Passo 4
Prova de (c). Seja para grande. Se converge, pelo teste de comparação de séries positivas concluímos que também converge. Por outro lado, se diverge, então não há como convergir, pois caso convergisse, de novo comparando chegaríamos a uma contradição.
Passo 5
Prova de (d). Suponha para todo e que e sejam convergentes. Para cada aplicamos Cauchy–Schwarz:
Como as somas parciais de sum lvert xnynrvert ficam uniformemente limitadas, sum lvert xnynrvert converge, isto é, sum xnyn converge absolutamente.
Resposta
(a) Pelo Teorema da Convergência Monótona, (xn) converge.
(b) lim xn<=lim yn. Exemplo: xn=1/n, yn=2/n.
(c) Vale o teste de comparação: sum yn converge Rightarrowsum xn converge; sum xn diverge Rightarrowsum yn diverge.
(d) Usa-se Cauchy–Schwarz para mostrar convergência absoluta de sum xnyn.