A função f(x, t)=(0,750 m) sen[(3,00 rad / m) x-a t], em que x está em metros e t está em segundos, corresponde a uma função de onda que se propaga em uma corda, sendo solução da equação de onda partial^2 fpartial t^2=(4,00 m^2 / s^2) partial^2 fpartial x^2. Suponha que a corda possua 10,0 m de comprimento e 5,00 kg de massa, distribuídos uniformemente. Determine:
a) A frequência linear da onda (1 0 , 0 pontos);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de onda que descreve como uma onda se propaga numa corda. A função é $ f(x, t) = 0,750 , m \cdot \sin[(3,00 , rad/m) x - a t] $. O enunciado nos diz que essa onda satisfaz a equação de onda $ \frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}} = 4,00 , m2/\text{s}2 \cdot \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} $. A gente precisa encontrar a frequência linear da onda. Para isso, vamos precisar entender como a frequência está relacionada com os parâmetros da função de onda e com a velocidade de propagação na corda.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da função de onda geral, que tem a forma $ f(x, t) = A \sin(kx - \omega t) $, onde:
  • $ A $ é a amplitude,
  • $ k $ é o número de onda,
  • $ \omega $ é a frequência angular.
Comparando com nossa função, vemos que:
  • $ A = 0,750 , m $,
  • $ k = 3,00 , rad/m $,
  • $ \omega = a $.
Nosso objetivo é encontrar $ \omega $, que depois usaremos para determinar a frequência linear $ f $.

Passo 3

Sabemos que a equação de onda geral é $ \frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}} = v^2 \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} $, onde $ v $ é a velocidade de propagação da onda. No nosso caso, a equação dada é $ \frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}} = 4,00 , m2/\text{s}2 \cdot \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} $, então $ v^2 = 4,00 , m2/\text{s}2 $, ou seja, $ v = 2,00 , m/s $.

Passo 4

A velocidade da onda também está relacionada com a frequência angular $ \omega $ e o número de onda $ k $ pela relação $ v = \frac{\omega}{k} $. Vamos usar isso para encontrar $ \omega $:
omega

Passo 5

Agora que temos $ \omega = 6,00 , rad/s $, podemos encontrar a frequência linear $ f $ usando a relação entre frequência angular e frequência linear:
omega = 6,00 , rad/s

Resposta

A frequência linear da onda é aproximadamente $ 0,955 , Hz $.

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