A função
, em que
está em metros e
está em segundos, corresponde a uma função de onda que se propaga em uma corda, sendo solução da equação de onda
. Suponha que a corda possua
de comprimento e
de massa, distribuídos uniformemente. Determine:
a) A frequência linear da onda
pontos);
a) A frequência linear da onda
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de onda que descreve como uma onda se propaga numa corda. A função é $ f(x, t) = 0,750 , m \cdot \sin[(3,00 , rad/m) x - a t] $. O enunciado nos diz que essa onda satisfaz a equação de onda $ \frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}} = 4,00 , m2/\text{s}2 \cdot \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} $. A gente precisa encontrar a frequência linear da onda. Para isso, vamos precisar entender como a frequência está relacionada com os parâmetros da função de onda e com a velocidade de propagação na corda.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da função de onda geral, que tem a forma $ f(x, t) = A \sin(kx - \omega t) $, onde:
- $ A $ é a amplitude,
- $ k $ é o número de onda,
- $ \omega $ é a frequência angular.
Comparando com nossa função, vemos que:
- $ A = 0,750 , m $,
- $ k = 3,00 , rad/m $,
- $ \omega = a $.
Nosso objetivo é encontrar $ \omega $, que depois usaremos para determinar a frequência linear $ f $.
Passo 3
Sabemos que a equação de onda geral é $ \frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}} = v^2 \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} $, onde $ v $ é a velocidade de propagação da onda. No nosso caso, a equação dada é $ \frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}} = 4,00 , m2/\text{s}2 \cdot \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} $, então $ v^2 = 4,00 , m2/\text{s}2 $, ou seja, $ v = 2,00 , m/s $.
Passo 4
A velocidade da onda também está relacionada com a frequência angular $ \omega $ e o número de onda $ k $ pela relação $ v = \frac{\omega}{k} $. Vamos usar isso para encontrar $ \omega $:
Passo 5
Agora que temos $ \omega = 6,00 , rad/s $, podemos encontrar a frequência linear $ f $ usando a relação entre frequência angular e frequência linear:
Resposta
A frequência linear da onda é aproximadamente $ 0,955 , Hz $.