A função f(x)=-9 x^{3}+8 x^{2}+1,5 x-0,5 é classificada como uma função contínua. Determine o zero da função usando método da posição falsa modificada (FPM) dos seguintes intervalos, sabendo \varepsilon=0,002 :
[0,5: 2,5]

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = -9 x^{3} + 8 x^{2} + 1,5 x - 0,5
e pede para determinar um zero de f no intervalo \[0,5,\,2,5\] usando o método da posição falsa modificada (FPM), com tolerância \varepsilon = 0,002.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Função: \;f(x) = -9 x^{3} + 8 x^{2} + 1,5 x - 0,5.
  • Intervalo inicial: \;a_0 = 0,5 e \;b_0 = 2,5.
  • Tolerância: \;\varepsilon = 0,002.
  • A estratégia pedida: método da posição falsa modificada (FPM).
O que é pedido concretamente:
  • Aplicar o método FPM (posição falsa modificada) ao intervalo dado e obter uma aproximação do zero de f que satisfaça o critério de parada escolhido (aqui usarei \lvert c_{n}-c_{n-1}\rvert < \varepsilon, explico abaixo).

Passo 2

Vou explicar o método que vou usar (FPM — versão “Illinois”, uma versão comum de posição falsa modificada) de forma direta e prática, para você saber como aplicar na prova.
Fórmula base da posição falsa (regula falsi):
c = \frac{a\,f(b) - b\,f(a)}{f(b) - f(a)}.
Aqui a e b são extremidades do intervalo com f(a) e f(b) de sinais opostos; c é a interseção da reta que une (a,f(a)) e (b,f(b)) com o eixo x.
Regra “modificada (Illinois)” que vou usar (explicando passo a passo):
  • Calculo c pela fórmula acima com os valores atuais de a,b,f(a),f(b).
  • Avalio f\text{(c)}.
  • Se f\text{(c)}=0 parei: encontrei a raiz.
  • Se f(a)\cdot f\text{(c)} < 0 então a raiz está em [a,c]: atualizo b \leftarrow c e f(b)\leftarrow f\text{(c)}. Depois, para evitar estagnação do outro extremo, reduz-se o valor da função do extremo oposto dividindo-o por 2 (isso acelera a mudança do extremo que tende a ficar preso).
  • Se f(b)\cdot f\text{(c)} < 0 então a raiz está em [c,b]: atualizo a \leftarrow c e f(a)\leftarrow f\text{(c)} e reduzo o valor de f(b) dividindo-o por 2.
  • Critério de parada escolhido: quando a diferença entre duas aproximações consecutivas \lvert c_{n}-c_{n-1}\rvert ficar menor que \varepsilon = 0,002.
Observação didática: a divisão por 2 do valor da função no extremo que não mudou é a modificação que evita que um dos extremos fique preso por muitas iterações (problema clássico da regula falsi). Na prática, depois de cada iteração eu atualizo o extremo onde o sinal mudou e “reduzo” o valor de f do extremo oposto para forçar a reta secante a deslocar-se.
Agora aplico o procedimento numericamente, passo a passo, mostrando os cálculos.

Passo 3

Inicialização:
a_0 = 0,5,\qquad b_0 = 2,5.
Avalio f nas extremidades (faço as contas explícitas):
f(0,5) = -9(0,5)^3 + 8(0,5)^2 + 1{,}5(0,5) - 0{,}5 = 1{,}125.
f(2,5) = -9(2,5)^3 + 8(2,5)^2 + 1{,}5(2,5) - 0{,}5 = -87{,}375.
Temos f(0,5)>0 e f(2,5)<0, logo há raiz no intervalo.

Passo 4

Iteração 1:
Uso a fórmula da posição falsa:
c_1 = \frac{a_0 f(b_0) - b_0 f(a_0)}{f(b_0) - f(a_0)} = \frac{0{,}5\cdot(-87{,}375) - 2{,}5\cdot(1{,}125)}{-87{,}375 - 1{,}125} = \frac{-46{,}5}{-88{,}5} = \frac{31}{59} \approx 0{,}5254237288.
Avalio f(c_1) (aproximação numérica):
f(c_1)\approx 1{,}1914356\quad(\text{positivo}).
Sinal de f(c_1) é igual ao de f(a_0), então a raiz está em [c_1,b_0]. Atualizo:
a_1 \leftarrow c_1 \approx 0{,}5254237,\quad f(a_1)\approx 1{,}1914356.
E, pela regra modificada, reduzo o valor de f(b) pela metade:
f(b_1) \leftarrow \tfrac{1}{2}f(b_0) = -43{,}6875.
Mantém-se b_1=2{,}5.

Passo 5

Iteração 2:
Com a_1, b_1, f(a_1), f(b_1):
c_2 = \frac{a_1 f(b_1) - b_1 f(a_1)}{f(b_1) - f(a_1)} \approx 0{,}577845.
Avalio:
f(c_2)\approx 1{,}3014935\quad(\text{positivo}).
Como f(c_2) tem mesmo sinal que f(a_1), a raiz está em [c_2,b_1]. Atualizo:
a_2 \leftarrow c_2 \approx 0{,}577845,\quad f(a_2)\approx 1{,}3014935,
e reduzo f(b) novamente:
f(b_2) \leftarrow \tfrac{1}{2}f(b_1) = -21{,}84375.
Mantém-se b_2=2{,}5.

Passo 6

Iteração 3:
c_3 \approx 0{,}685737.
Avaliação:
f(c_3)\approx 1{,}3889195\quad(\text{positivo}).
Atualizo a (mesma lógica) e reduzo f(b):
a_3 \leftarrow c_3,\quad f(a_3)\approx 1{,}3889195,\qquad f(b_3) = -10{,}921875,\quad b_3=2{,}5.

Passo 7

Iteração 4:
c_4 \approx 0{,}890659.
Avaliação:
f(c_4)\approx 0{,}819192\quad(\text{positivo}).
Atualizo:
a_4 \leftarrow c_4 \approx 0{,}890659,\quad f(a_4)\approx 0{,}819192,
e reduzo f(b):
f(b_4) = -5{,}4609375,\quad b_4=2{,}5.

Passo 8

Iteração 5:
c_5 \approx 1{,}1006\quad(\text{aprox.}).
Avaliação:
f(c_5)\approx -1{,}15194\quad(\text{negativo}).
Agora f(c_5) tem sinal oposto ao de f(a_4), então a raiz está em [a_4,c_5]. Atualizo b:
b_5 \leftarrow c_5 \approx 1{,}1006,\quad f(b_5)\approx -1{,}15194.
E reduzo f(a) (o extremo que não mudou):
f(a_5) \leftarrow \tfrac{1}{2}f(a_4) \approx 0{,}409596.

Passo 9

Iteração 6:
Com a_5\approx 0{,}890659 (mas usando f(a_5)=0{,}409596 reduzido) e b_5\approx 1{,}1006:
c_6 \approx 0{,}9456.
Avaliação:
f(c_6)\approx 0{,}46168\quad(\text{positivo}).
Sinal igual a f(a_5), atualizo a e reduzo f(b):
a_6 \leftarrow c_6 \approx 0{,}9456,\quad f(a_6)\approx 0{,}46168,
f(b_6) \leftarrow \tfrac{1}{2}f(b_5) \approx -0{,}57597,\quad b_6\approx 1{,}1006.

Passo 10

Iteração 7:
c_7 \approx 1{,}01445.
Avaliação:
f(c_7)\approx -0{,}137133\quad(\text{negativo}).
Atualizo b e reduzo f(a):
b_7 \leftarrow c_7 \approx 1{,}01445,\quad f(b_7)\approx -0{,}137133,
f(a_7) \leftarrow \tfrac{1}{2}f(a_6) \approx 0{,}23084,\quad a_7\approx 0{,}9456.

Passo 11

Iteração 8:
c_8 \approx 0{,}9882.
Avaliação:
f(c_8)\approx 0{,}106624\quad(\text{positivo}).
Atualizo a e reduzo f(b):
a_8 \leftarrow c_8 \approx 0{,}9882,\quad f(a_8)\approx 0{,}106624,
f(b_8) \leftarrow \tfrac{1}{2}f(b_7) \approx -0{,}068565,\quad b_8\approx 1{,}01445.

Passo 12

Iteração 9:
c_9 \approx 1{,}00398.
Avaliação:
f(c_9)\approx -0{,}038186\quad(\text{negativo}).
Atualizo b e reduzo f(a):
b_9 \leftarrow c_9 \approx 1{,}00398,\quad f(b_9)\approx -0{,}038186,
f(a_9) \leftarrow \tfrac{1}{2}f(a_8) \approx 0{,}053312,\quad a_9\approx 0{,}9882.

Passo 13

Iteração 10:
c_{10} \approx 0{,}99705.
Avaliação:
f(c_{10})\approx 0{,}027825\quad(\text{positivo}).
Atualizo a e reduzo f(b):
a_{10} \leftarrow c_{10} \approx 0{,}99705,\quad f(a_{10})\approx 0{,}027825,
f(b_{10}) \leftarrow \tfrac{1}{2}f(b_9) \approx -0{,}019093,\quad b_{10}\approx 1{,}00398.

Passo 14

Iteração 11:
c_{11} \approx 1{,}001145.
Avaliação:
f(c_{11})\approx -0{,}010915\quad(\text{negativo}).
Atualizo b e reduzo f(a):
b_{11} \leftarrow c_{11} \approx 1{,}001145,\quad f(b_{11})\approx -0{,}010915,
f(a_{11}) \leftarrow \tfrac{1}{2}f(a_{10}) \approx 0{,}0139125,\quad a_{11}\approx 0{,}99705.

Passo 15

Iteração 12:
c_{12} \approx 0{,}99925.
Avaliação:
f(c_{12})\approx 0{,}0071205\quad(\text{positivo}).
Agora calculo a diferença entre as duas últimas aproximações:
\lvert c_{12} - c_{11}\rvert \approx \lvert 0{,}99925 - 1{,}001145\rvert \approx 0{,}001895.
Como \;0{,}001895 < \varepsilon = 0{,}002, o critério de parada foi satisfeito. Portanto interrompo as iterações e aceito c_{12} como aproximação da raiz com a precisão solicitada.

Resposta

x \approx 0{,}99925

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