A função
é classificada como uma função contínua. Determine o zero da função usando método da posição falsa modificada (FPM) dos seguintes intervalos, sabendo
:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar um zero de
no intervalo
usando o método da posição falsa modificada (FPM), com tolerância
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Função:
- Intervalo inicial:
e - Tolerância:
- A estratégia pedida: método da posição falsa modificada (FPM).
O que é pedido concretamente:
- Aplicar o método FPM (posição falsa modificada) ao intervalo dado e obter uma aproximação do zero de
que satisfaça o critério de parada escolhido (aqui usarei , explico abaixo).
Passo 2
Vou explicar o método que vou usar (FPM — versão “Illinois”, uma versão comum de posição falsa modificada) de forma direta e prática, para você saber como aplicar na prova.
Fórmula base da posição falsa (regula falsi):
Aqui
e
são extremidades do intervalo com
e
de sinais opostos;
é a interseção da reta que une
e
com o eixo
.
Regra “modificada (Illinois)” que vou usar (explicando passo a passo):
- Calculo
pela fórmula acima com os valores atuais de . - Avalio
. - Se
parei: encontrei a raiz. - Se
então a raiz está em : atualizo e . Depois, para evitar estagnação do outro extremo, reduz-se o valor da função do extremo oposto dividindo-o por (isso acelera a mudança do extremo que tende a ficar preso). - Se
então a raiz está em : atualizo e e reduzo o valor de dividindo-o por . - Critério de parada escolhido: quando a diferença entre duas aproximações consecutivas
ficar menor que .
Observação didática: a divisão por
do valor da função no extremo que não mudou é a modificação que evita que um dos extremos fique preso por muitas iterações (problema clássico da regula falsi). Na prática, depois de cada iteração eu atualizo o extremo onde o sinal mudou e “reduzo” o valor de
do extremo oposto para forçar a reta secante a deslocar-se.
Agora aplico o procedimento numericamente, passo a passo, mostrando os cálculos.
Passo 3
Inicialização:
Avalio
nas extremidades (faço as contas explícitas):
Temos
e
, logo há raiz no intervalo.
Passo 4
Iteração 1:
Uso a fórmula da posição falsa:
Uso a fórmula da posição falsa:
Avalio
(aproximação numérica):
Sinal de
é igual ao de
, então a raiz está em
. Atualizo:
E, pela regra modificada, reduzo o valor de
pela metade:
Mantém-se
.
Passo 5
Iteração 2:
Com ,
,
,
:
Com
Avalio:
Como
tem mesmo sinal que
, a raiz está em
. Atualizo:
e reduzo
novamente:
Mantém-se
.
Passo 6
Iteração 3:
Avaliação:
Atualizo
(mesma lógica) e reduzo
:
Passo 7
Iteração 4:
Avaliação:
Atualizo:
e reduzo
:
Passo 8
Iteração 5:
Avaliação:
Agora
tem sinal oposto ao de
, então a raiz está em
. Atualizo
:
E reduzo
(o extremo que não mudou):
Passo 9
Iteração 6:
Com (mas usando
reduzido) e
:
Com
Avaliação:
Sinal igual a
, atualizo
e reduzo
:
Passo 10
Iteração 7:
Avaliação:
Atualizo
e reduzo
:
Passo 11
Iteração 8:
Avaliação:
Atualizo
e reduzo
:
Passo 12
Iteração 9:
Avaliação:
Atualizo
e reduzo
:
Passo 13
Iteração 10:
Avaliação:
Atualizo
e reduzo
:
Passo 14
Iteração 11:
Avaliação:
Atualizo
e reduzo
:
Passo 15
Iteração 12:
Avaliação:
Agora calculo a diferença entre as duas últimas aproximações:
Como
, o critério de parada foi satisfeito. Portanto interrompo as iterações e aceito
como aproximação da raiz com a precisão solicitada.