1. O aquecimento de uma caldeira obedece a equação T=\ln (t+1)+5 t. Em quanto tempo ela atingirá a temperatura \mathrm{T}=40^{\circ} \mathrm{C} ? Usar o Método de NewtonRaphson e duas casas decimais de precisão.

Passo 1

O enunciado dá a lei do aquecimento
T=\ln(t+1)+5t
e pergunta em quanto tempo t a temperatura atinge T=40^\circ\mathrm{C}.
Informações relevantes:
  • Equação dada: T=\ln(t+1)+5t.
  • Valor alvo: T=40.
  • Pedem t tal que a equação seja satisfeita, usando o Método de Newton–Raphson e com precisão de duas casas decimais.

Passo 2

Transformar o problema em achar a raiz de uma função: definimos a função
f(t)=\ln(t+1)+5t-40.
A solução procurada é o t tal que
f(t)=0.
Também precisamos da derivada f'(t) para o método:
f'(t)=\frac{1}{t+1}+5.
Explicação rápida (didática): f(t) é a diferença entre a temperatura que a caldeira tem no tempo t e a temperatura alvo 40. Zerar f é encontrar o tempo em que a temperatura fica exatamente 40. A derivada f'(t) indica a taxa de variação de f em relação a t; no Newton–Raphson usamos essa taxa para fazer correções inteligentes no palpite.

Passo 3

Apresentando o Método de Newton–Raphson (aula prática):
  • Fórmula iterativa:
t_{n+1}=t_n-\frac{f(t_n)}{f'(t_n)}.
  • Interpretação: a cada iteração desenhamos a reta tangente à curva y=f(t) no ponto (t_n,f(t_n)) e tomamos a interseção dessa reta com o eixo t como novo palpite t_{n+1}. Isso costuma convergir rápido quando o palpite inicial está razoavelmente perto da raiz.
  • Critério de parada (para obter duas casas decimais confiáveis): parar quando |t_{n+1}-t_n|<0,005. Assim, ao arredondar para duas casas decimais, o valor fica estável.

Passo 4

Escolha do palpite inicial t_0:
  • Uma estimativa rápida: desprezando o termo \ln(t+1) temos 5t\approx40\Rightarrow t\approx8. Então escolhemos
t_0=8.
Justificativa didática: é um palpite simples e já perto da solução; Newton–Raphson costuma convergir rápido com esse tipo de chute.

Passo 5

Primeira iteração (cálculos detalhados):
  • Calcular f(t_0):
f(8)=\ln(8+1)+5\cdot 8-40=\ln 9 +40-40=\ln 9\approx 2,197224577.
  • Calcular f'(t_0):
f'(8)=\frac{1}{8+1}+5=\frac{1}{9}+5\approx 5,111111111.
  • Aplicar a fórmula:
t_1=8-\frac{f(8)}{f'(8)}=8-\frac{2,197224577}{5,111111111}\approx 8-0,429891328\approx 7,570108672.
Comentário didático: a divisão foi feita mostrando que o termo de correção é aproximadamente 0,43; subtrai-se do palpite inicial porque f(8)>0 (a função está acima do eixo), então devemos reduzir t.

Passo 6

Segunda iteração (cálculos detalhados e verificação do critério de parada):
  • Calcular f(t_1). Primeiro t_1+1\approx 8,570108672, então
\ln(t_1+1)=\ln(8,570108672)\approx 2,148281578.
  • Calcular 5t_1:
5t_1=5\cdot 7,570108672\approx 37,850543360.
  • Somando e subtraindo 40:
f(t_1)=\ln(t_1+1)+5t_1-40\approx 2,148281578+37,850543360-40\approx -0,001174062.
  • Calcular f'(t_1):
f'(t_1)=\frac{1}{t_1+1}+5\approx \frac{1}{8,570108672}+5\approx 5,116649945.
  • Aplicar a fórmula:
t_2=t_1-\frac{f(t_1)}{f'(t_1)}\approx 7,570108672-\frac{-0,001174062}{5,116649945}\approx 7,570108672+0,000229728\approx 7,570338400.
  • Verificar diferença:
|t_2-t_1|\approx 0,000229728<0,005,
logo o critério de parada para duas casas decimais foi satisfeito.
Comentário didático: a correção na segunda iteração já é muito pequena (aproximadamente 2{,}3\times 10^{-4}), indicando que chegámos perto da raiz. Ao arredondar para duas casas decimais, t_1 e t_2 darão o mesmo valor 7{,}57.

Passo 7

Arredondamento final e interpretação:
  • Com a convergência verificada, tomamos a aproximação final
t\approx 7,570338400.
  • Arredondando para duas casas decimais (conforme pedido):
t\approx 7,57.
Incentivo rápido: já era — fizemos o método passo a passo e estabilizamos o resultado; bate certinho com a intuição inicial t\approx 8, mas mais preciso.

Resposta

t\approx 7,57

Exercícios relacionados