- O aquecimento de uma caldeira obedece a equação
. Em quanto tempo ela atingirá a temperatura
? Usar o Método de NewtonRaphson e duas casas decimais de precisão.
Passo 1
O enunciado dá a lei do aquecimento
e pergunta em quanto tempo
a temperatura atinge
.
Informações relevantes:
- Equação dada:
. - Valor alvo:
. - Pedem
tal que a equação seja satisfeita, usando o Método de Newton–Raphson e com precisão de duas casas decimais.
Passo 2
Transformar o problema em achar a raiz de uma função: definimos a função
A solução procurada é o
tal que
Também precisamos da derivada
para o método:
Explicação rápida (didática):
é a diferença entre a temperatura que a caldeira tem no tempo
e a temperatura alvo
. Zerar
é encontrar o tempo em que a temperatura fica exatamente
. A derivada
indica a taxa de variação de
em relação a
; no Newton–Raphson usamos essa taxa para fazer correções inteligentes no palpite.
Passo 3
Apresentando o Método de Newton–Raphson (aula prática):
- Fórmula iterativa:
- Interpretação: a cada iteração desenhamos a reta tangente à curva
no ponto e tomamos a interseção dessa reta com o eixo como novo palpite . Isso costuma convergir rápido quando o palpite inicial está razoavelmente perto da raiz. - Critério de parada (para obter duas casas decimais confiáveis): parar quando
. Assim, ao arredondar para duas casas decimais, o valor fica estável.
Passo 4
Escolha do palpite inicial
:
- Uma estimativa rápida: desprezando o termo
temos . Então escolhemos
Justificativa didática: é um palpite simples e já perto da solução; Newton–Raphson costuma convergir rápido com esse tipo de chute.
Passo 5
Primeira iteração (cálculos detalhados):
- Calcular
:
- Calcular
:
- Aplicar a fórmula:
Comentário didático: a divisão foi feita mostrando que o termo de correção é aproximadamente
; subtrai-se do palpite inicial porque
(a função está acima do eixo), então devemos reduzir
.
Passo 6
Segunda iteração (cálculos detalhados e verificação do critério de parada):
- Calcular
. Primeiro , então
- Calcular
:
- Somando e subtraindo 40:
- Calcular
:
- Aplicar a fórmula:
- Verificar diferença:
logo o critério de parada para duas casas decimais foi satisfeito.
Comentário didático: a correção na segunda iteração já é muito pequena (aproximadamente
), indicando que chegámos perto da raiz. Ao arredondar para duas casas decimais,
e
darão o mesmo valor
.
Passo 7
Arredondamento final e interpretação:
- Com a convergência verificada, tomamos a aproximação final
- Arredondando para duas casas decimais (conforme pedido):
Incentivo rápido: já era — fizemos o método passo a passo e estabilizamos o resultado; bate certinho com a intuição inicial
, mas mais preciso.