Para a função abaixo, encontre:
g(x)=x^{4}-2 x^{2}+3
(i) intervalos de crescimento/decrescimento
(ii)extremos locais
(iii)intervalos de concavidade e pontos de inflexão

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x)=x^{4}-2x^{2}+3
e pede três coisas:
(i) intervalos de crescimento e decrescimento;
(ii) extremos locais (tipo e coordenadas);
(iii) intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
Informações úteis imediatas:
  • g é um polinômio definido para todo x\in\mathbb{R} (domínio: todos os reais).
  • Para encontrar crescimento/decrescimento e extremos locais usa-se a derivada primeira g'(x).
  • Para concavidade e pontos de inflexão usa-se a derivada segunda g''(x).

Passo 2

Vamos calcular a derivada primeira e explicar a regra usada.
Regra usada (regra do poder): para h(x)=x^{n} tem-se h'(x)=n x^{n-1}. A derivada de uma soma é a soma das derivadas e a derivada de uma constante é zero.
Aplicando isso em g(x)=x^{4}-2x^{2}+3:
g'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}\bigr)-2\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)+\frac{d}{dx}(3)
g'(x)=4x^{3}-2\cdot 2x+0=4x^{3}-4x.
Fatorando:
g'(x)=4x^{3}-4x=4x(x^{2}-1)=4x(x-1)(x+1).
Os pontos críticos ocorrem onde g'(x)=0 (ou \,g' indefinida, o que não acontece aqui). Da factorization:
g'(x)=0 \quad\Longrightarrow\quad x= -1,\;0,\;1.

Passo 3

Classificar os intervalos de crescimento/decrescimento usando o sinal de g'(x).
Método: testar o sinal de g'(x)=4x(x-1)(x+1) em cada intervalo determinado pelos pontos críticos -\infty<-1<0<1<\infty.
  • Para x<-1: escolha x=-2. Sinais dos fatores: x negativo, x-1 negativo, x+1 negativo. Produto: negativo. Logo g'(x)<0 → decresce.
  • Para -1<x<0: escolha x=-\tfrac12. Sinais: x negativo, x-1 negativo, x+1 positivo. Produto: positivo. Logo g'(x)>0 → cresce.
  • Para 0<x<1: escolha x=\tfrac12. Sinais: x positivo, x-1 negativo, x+1 positivo. Produto: negativo. Logo g'(x)<0 → decresce.
  • Para x>1: escolha x=2. Sinais: todos positivos → produto positivo. Logo g'(x)>0 → cresce.
Portanto:
  • g é decrescente em (-\infty,-1) e em (0,1).
  • g é crescente em (-1,0) e em (1,\infty).

Passo 4

Determinar os extremos locais com o teste da derivada primeira (mudança de sinal de g') e calcular as coordenadas.
Analisando os sinais encontrados:
  • Em x=-1: g' passa de negativo (à esquerda) para positivo (à direita) → mínimo local.
  • Em x=0: g' passa de positivo para negativo → máximo local.
  • Em x=1: g' passa de negativo para positivo → mínimo local.
Calcular os valores de g nesses pontos:
g(-1)=(-1)^{4}-2(-1)^{2}+3=1-2+3=2.
g(0)=0^{4}-2\cdot0^{2}+3=3.
g(1)=1^{4}-2\cdot1^{2}+3=1-2+3=2.
Conclusão sobre extremos:
  • Mínimos locais em \bigl(-1,\,2\bigr) e \bigl(1,\,2\bigr).
  • Máximo local em \bigl(0,\,3\bigr).

Passo 5

Agora a concavidade: calculamos a derivada segunda e usamos seu sinal.
Derivando g'(x)=4x^{3}-4x:
g''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(4x^{3}\bigr)-\frac{d}{dx}(4x)=12x^{2}-4=4(3x^{2}-1).
Regra de interpretação:
  • Se g''(x)>0 então g é côncava para cima (convexa) naquele ponto.
  • Se g''(x)<0 então g é côncava para baixo naquele ponto.
  • Pontos onde g''(x)=0 são candidatos a pontos de inflexão; é necessário que haja troca de sinal de g''.
Resolver g''(x)=0:
12x^{2}-4=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=\frac{1}{3}\quad\Longrightarrow\quad x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}.
Analisar os sinais em cada intervalo:
  • Para |x|>\tfrac{1}{\sqrt{3}} (isto é, em (-\infty,-\tfrac{1}{\sqrt{3}}) e em (\tfrac{1}{\sqrt{3}},\infty)), tem-se 3x^{2}>1 g''(x)>0 ⇒ concavidade para cima.
  • Para -\tfrac{1}{\sqrt{3}}<x<\tfrac{1}{\sqrt{3}}, tem-se 3x^{2}<1 g''(x)<0 ⇒ concavidade para baixo.
Assim:
  • g é côncava para cima em (-\infty,-\tfrac{1}{\sqrt{3}}) e em (\tfrac{1}{\sqrt{3}},\infty).
  • g é côncava para baixo em (-\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{1}{\sqrt{3}}).
Verificar pontos de inflexão: em x=\pm\tfrac{1}{\sqrt{3}} a derivada segunda muda de sinal, portanto são pontos de inflexão. Precisamos das ordenadas nesses pontos:
Calcular g\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr) (a função é par, então os valores são iguais para os dois sinais):
g\!\left(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\right)=\left(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^{4}-2\left(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}+3 =\tfrac{1}{9}-2\cdot\tfrac{1}{3}+3=\tfrac{1}{9}-\tfrac{6}{9}+\tfrac{27}{9}=\tfrac{22}{9}.
Portanto pontos de inflexão em \displaystyle\left(\pm\frac{1}{\sqrt{3}},\,\frac{22}{9}\right).

Passo 6

Resumo final (para usar direto na prova):
  • Crescimento/decrescimento obtidos via sinal de g'(x)=4x(x-1)(x+1).
  • Extremos locais classificados pelo teste da primeira derivada, com valores calculados.
  • Concavidade e pontos de inflexão obtidos via g''(x)=12x^{2}-4.

Resposta

(i) Cresce em \left(-1,0\right) e em \left(1,\infty\right). Decresce em \left(-\infty,-1\right) e em \left(0,1\right).
(ii) Mínimos locais em \bigl(-1,\,2\bigr) e em \bigl(1,\,2\bigr). Máximo local em \bigl(0,\,3\bigr).
(iii) Côncava para cima em \left(-\infty,-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\right) e em \left(\tfrac{1}{\sqrt{3}},\infty\right). Côncava para baixo em \left(-\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{1}{\sqrt{3}}\right). Pontos de inflexão em \displaystyle\left(\pm\frac{1}{\sqrt{3}},\,\frac{22}{9}\right).

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