Para a função abaixo, encontre:
(i) intervalos de crescimento/decrescimento
(ii)extremos locais
(iii)intervalos de concavidade e pontos de inflexão
(i) intervalos de crescimento/decrescimento
(ii)extremos locais
(iii)intervalos de concavidade e pontos de inflexão
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
(i) intervalos de crescimento e decrescimento;
(ii) extremos locais (tipo e coordenadas);
(iii) intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
(i) intervalos de crescimento e decrescimento;
(ii) extremos locais (tipo e coordenadas);
(iii) intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
Informações úteis imediatas:
-
é um polinômio definido para todo (domínio: todos os reais). - Para encontrar crescimento/decrescimento e extremos locais usa-se a derivada primeira
. - Para concavidade e pontos de inflexão usa-se a derivada segunda
.
Passo 2
Vamos calcular a derivada primeira e explicar a regra usada.
Regra usada (regra do poder): para
tem-se
. A derivada de uma soma é a soma das derivadas e a derivada de uma constante é zero.
Aplicando isso em
:
Fatorando:
Os pontos críticos ocorrem onde
(ou
indefinida, o que não acontece aqui). Da factorization:
Passo 3
Classificar os intervalos de crescimento/decrescimento usando o sinal de
.
Método: testar o sinal de
em cada intervalo determinado pelos pontos críticos
.
- Para
: escolha . Sinais dos fatores: negativo, negativo, negativo. Produto: negativo. Logo → decresce. - Para
: escolha . Sinais: negativo, negativo, positivo. Produto: positivo. Logo → cresce. - Para
: escolha . Sinais: positivo, negativo, positivo. Produto: negativo. Logo → decresce. - Para
: escolha . Sinais: todos positivos → produto positivo. Logo → cresce.
Portanto:
-
é decrescente em e em . -
é crescente em e em .
Passo 4
Determinar os extremos locais com o teste da derivada primeira (mudança de sinal de
) e calcular as coordenadas.
Analisando os sinais encontrados:
- Em
: passa de negativo (à esquerda) para positivo (à direita) → mínimo local. - Em
: passa de positivo para negativo → máximo local. - Em
: passa de negativo para positivo → mínimo local.
Calcular os valores de
nesses pontos:
Conclusão sobre extremos:
- Mínimos locais em
e . - Máximo local em
.
Passo 5
Agora a concavidade: calculamos a derivada segunda e usamos seu sinal.
Derivando
:
Regra de interpretação:
- Se
então é côncava para cima (convexa) naquele ponto. - Se
então é côncava para baixo naquele ponto. - Pontos onde
são candidatos a pontos de inflexão; é necessário que haja troca de sinal de .
Resolver
:
Analisar os sinais em cada intervalo:
- Para
(isto é, em e em ), tem-se ⇒ ⇒ concavidade para cima. - Para
, tem-se ⇒ ⇒ concavidade para baixo.
Assim:
-
é côncava para cima em e em . -
é côncava para baixo em .
Verificar pontos de inflexão: em
a derivada segunda muda de sinal, portanto são pontos de inflexão. Precisamos das ordenadas nesses pontos:
Calcular (a função é par, então os valores são iguais para os dois sinais):
Calcular
Portanto pontos de inflexão em
.
Passo 6
Resumo final (para usar direto na prova):
- Crescimento/decrescimento obtidos via sinal de
. - Extremos locais classificados pelo teste da primeira derivada, com valores calculados.
- Concavidade e pontos de inflexão obtidos via
.
Resposta
(i) Cresce em
e em
. Decresce em
e em
.
(ii) Mínimos locais em e em
. Máximo local em
.
(iii) Côncava para cima em e em
. Côncava para baixo em
. Pontos de inflexão em
.
(ii) Mínimos locais em
(iii) Côncava para cima em