Para as funções abaixo, encontre os extremos locais:
(a) f(x)=x^{3}-12 x+1
(b) g(x)=x^{4}-2 x^{2}+3
(c) h(x)=x e^{-x}
(d) f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+3}

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado pede e quais são as funções dadas.
  • O enunciado pede: para cada uma das funções abaixo, encontrar os extremos locais (ou seja, pontos críticos onde ocorre máximo local ou mínimo local).
  • As funções fornecidas são:
    • (a) f(x)=x^{3}-12x+1
    • (b) g(x)=x^{4}-2x^{2}+3
    • (c) h(x)=x e^{-x}
    • (d) f(x)=\dfrac{x^{2}}{x^{2}+3}
Informações relevantes que vamos usar (não faço a resolução aqui, só listo):
  • Para encontrar extremos locais procuramos pontos críticos onde a derivada primeira é zero ou não existe.
  • Em todos os casos as funções são reais e diferenciáveis em todo \mathbb{R} (exceto verificar denominador no caso (d), que nunca zera).
  • Vou calcular derivadas, encontrar pontos críticos, avaliar a derivada segunda (teste da derivada segunda) e, quando útil, discutir o sinal da derivada primeira.

Passo 2

Mini-aula rápida sobre o método e as regras de derivação que vou usar (para você conseguir aplicar na prova).
  • O que é derivada primeira e por que ela serve: a derivada primeira f'(x) dá a inclinação da reta tangente a f em x. Pontos onde f'(x)=0 (ou f' não existe) são candidatos a extremos locais porque aí a inclinação muda de sinal possivelmente.
  • Teste da derivada segunda: se f''\text{(c)}>0 então f tem mínimo local em x=c; se f''\text{(c)}<0 então f tem máximo local em x=c. Se f''\text{(c)}=0 o teste é inconclusivo (seria preciso estudar mudança de sinal de f' ou outros métodos).
  • Regras de derivação que vou usar:
    • Regra do poder: \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1}.
    • Regra do produto: \dfrac{d}{dx}\bigl(u(x)v(x)\bigr)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
    • Regra do quociente: \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{u(x)}{v(x)}\right)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^{2}}.
    • Regra da cadeia (quando aparecer): para u(v(x)), \dfrac{d}{dx}u(v(x))=u'(v(x))\cdot v'(x).
  • Em todas as fórmulas acima, u'(x) e v'(x) representam as derivadas das funções u e v.
Agora aplico isso função por função, mostrando cada passo de cálculo.

Passo 3

Resolução de (a) \,f(x)=x^{3}-12x+1.
  • Calcular a derivada primeira usando a regra do poder termo a termo:
f'(x)=\dfrac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)-\dfrac{d}{dx}\bigl(12x\bigr)+\dfrac{d}{dx}\bigl(1\bigr)=3x^{2}-12+0=3x^{2}-12.
  • Encontrar pontos críticos resolvendo f'(x)=0:
3x^{2}-12=0\quad\Rightarrow\quad x^{2}=4\quad\Rightarrow\quad x=\pm 2.
  • Calcular a derivada segunda:
f''(x)=\dfrac{d}{dx}\bigl(3x^{2}-12\bigr)=6x.
  • Avaliar f'' nos pontos críticos para classificar (teste da derivada segunda):
    • Em x=2: \;f''(2)=6\cdot 2=12>0. Pelo teste, x=2 é ponto de mínimo local.
    • Em x=-2: \;f''(-2)=6\cdot(-2)=-12<0. Pelo teste, x=-2 é ponto de máximo local.
  • Calcular os valores da função nesses pontos (para dar as coordenadas completas):
    • f(2)=2^{3}-12\cdot 2+1=8-24+1=-15.
    • f(-2)=(-2)^{3}-12(-2)+1=-8+24+1=17.

Passo 4

Resolução de (b) \,g(x)=x^{4}-2x^{2}+3.
  • Calcular a derivada primeira:
g'(x)=\dfrac{d}{dx}\bigl(x^{4}\bigr)-2\dfrac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)+\dfrac{d}{dx}\bigl(3\bigr)=4x^{3}-4x.
  • Fatorar g'(x) para achar raízes mais facilmente:
g'(x)=4x^{3}-4x=4x(x^{2}-1)=4x(x-1)(x+1).
  • Pontos críticos são as raízes de g'(x)=0:
x=0,\quad x=1,\quad x=-1.
  • Calcular a derivada segunda:
g''(x)=\dfrac{d}{dx}\bigl(4x^{3}-4x\bigr)=12x^{2}-4.
  • Avaliar g'' nos pontos críticos:
    • Em x=0: \;g''(0)=12\cdot 0^{2}-4=-4<0. Então x=0 é ponto de máximo local.
    • Em x=1: \;g''(1)=12\cdot 1^{2}-4=8>0. Então x=1 é ponto de mínimo local.
    • Em x=-1: \;g''(-1)=12\cdot 1-4=8>0. Então x=-1 é ponto de mínimo local.
  • Calcular os valores da função nos pontos críticos:
    • g(0)=0^{4}-2\cdot 0^{2}+3=3.
    • g(1)=1^{4}-2\cdot 1^{2}+3=1-2+3=2.
    • g(-1)=(-1)^{4}-2\cdot(-1)^{2}+3=1-2+3=2.

Passo 5

Resolução de (c) \,h(x)=x e^{-x}.
  • Antes de derivar, lembrar a regra do produto: se h(x)=u(x)v(x) então h'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
    Aqui u(x)=x e v(x)=e^{-x}.
  • Calcular a derivada primeira:
    • \dfrac{d}{dx}u(x)=1.
    • \dfrac{d}{dx}v(x)=\dfrac{d}{dx}\bigl(e^{-x}\bigr)=-e^{-x} (pela regra da cadeia).
h'(x)=1\cdot e^{-x}+x\cdot(-e^{-x})=e^{-x}(1-x).
  • Encontrar pontos críticos resolvendo h'(x)=0. Note que e^{-x}>0 para todo x, então a única solução vem de 1-x=0:
1-x=0\quad\Rightarrow\quad x=1.
  • Calcular a derivada segunda para classificar:
h''(x)=\dfrac{d}{dx}\bigl(e^{-x}(1-x)\bigr).
Usando produto e a derivada de e^{-x}:
h''(x)=(-e^{-x})(1-x)+e^{-x}(-1)=e^{-x}\bigl[-(1-x)-1\bigr]=e^{-x}(x-2).
  • Avaliar em x=1:
h''(1)=e^{-1}(1-2)=-e^{-1}<0.
Pelo teste da derivada segunda, x=1 é ponto de máximo local.
  • Valor da função no ponto:
h(1)=1\cdot e^{-1}=e^{-1}=\dfrac{1}{e}.

Passo 6

Resolução de (d) \,f(x)=\dfrac{x^{2}}{x^{2}+3}.
  • Primeiro observar o domínio: o denominador x^{2}+3 nunca é zero e é sempre positivo, portanto a função é definida e diferenciável para todo x\in\mathbb{R}.
  • Calcular a derivada usando a regra do quociente, com u(x)=x^{2} e v(x)=x^{2}+3:
f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^{2}}=\dfrac{2x(x^{2}+3)-x^{2}\cdot 2x}{(x^{2}+3)^{2}}.
  • Simplificar o numerador:
2x(x^{2}+3)-2x\cdot x^{2}=2x^{3}+6x-2x^{3}=6x.
Logo
f'(x)=\dfrac{6x}{(x^{2}+3)^{2}}.
  • Pontos críticos: resolver f'(x)=0. O denominador nunca é zero, então a única solução é 6x=0:
x=0.
  • Calcular a derivada segunda para classificar. É mais simples reescrever f'(x)=6x(x^{2}+3)^{-2} e derivar usando produto + cadeia:
f''(x)=6(x^{2}+3)^{-2}+6x\cdot(-2)(x^{2}+3)^{-3}\cdot 2x.
  • Simplificar passo a passo:
    • Primeiro termo: 6(x^{2}+3)^{-2}.
    • Segundo termo: 6x\cdot(-2)\cdot 2x\,(x^{2}+3)^{-3}=-24x^{2}(x^{2}+3)^{-3}.
    • Colocando em denominador comum (x^{2}+3)^{3}:
f''(x)=\dfrac{6(x^{2}+3)-24x^{2}}{(x^{2}+3)^{3}}=\dfrac{6x^{2}+18-24x^{2}}{(x^{2}+3)^{3}}=\dfrac{18(1-x^{2})}{(x^{2}+3)^{3}}.
  • Avaliar em x=0:
f''(0)=\dfrac{18(1-0)}{(0+3)^{3}}=\dfrac{18}{27}=\dfrac{2}{3}>0.
Pelo teste da derivada segunda, x=0 é ponto de mínimo local.
  • Valor da função em x=0:
f(0)=\dfrac{0^{2}}{0^{2}+3}=0.

Resposta

(a) máximo local em x=-2 com f(-2)=17; mínimo local em x=2 com f(2)=-15.
(b) máximo local em x=0 com g(0)=3; mínimos locais em x=1 e x=-1 com g(1)=g(-1)=2.
(c) máximo local em x=1 com h(1)=\dfrac{1}{e}.
(d) mínimo local em x=0 com f(0)=0.

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