Para as funções abaixo, encontre os extremos locais:
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
Vou listar com clareza o que o enunciado pede e quais são as funções dadas.
- O enunciado pede: para cada uma das funções abaixo, encontrar os extremos locais (ou seja, pontos críticos onde ocorre máximo local ou mínimo local).
- As funções fornecidas são:
- (a)
- (b)
- (c)
- (d)
- (a)
Informações relevantes que vamos usar (não faço a resolução aqui, só listo):
- Para encontrar extremos locais procuramos pontos críticos onde a derivada primeira é zero ou não existe.
- Em todos os casos as funções são reais e diferenciáveis em todo
(exceto verificar denominador no caso (d), que nunca zera). - Vou calcular derivadas, encontrar pontos críticos, avaliar a derivada segunda (teste da derivada segunda) e, quando útil, discutir o sinal da derivada primeira.
Passo 2
Mini-aula rápida sobre o método e as regras de derivação que vou usar (para você conseguir aplicar na prova).
- O que é derivada primeira e por que ela serve: a derivada primeira
dá a inclinação da reta tangente a em . Pontos onde (ou não existe) são candidatos a extremos locais porque aí a inclinação muda de sinal possivelmente. - Teste da derivada segunda: se
então tem mínimo local em ; se então tem máximo local em . Se o teste é inconclusivo (seria preciso estudar mudança de sinal de ou outros métodos). - Regras de derivação que vou usar:
- Regra do poder:
. - Regra do produto:
. - Regra do quociente:
. - Regra da cadeia (quando aparecer): para
, .
- Regra do poder:
- Em todas as fórmulas acima,
e representam as derivadas das funções e .
Agora aplico isso função por função, mostrando cada passo de cálculo.
Passo 3
Resolução de (a)
.
- Calcular a derivada primeira usando a regra do poder termo a termo:
- Encontrar pontos críticos resolvendo
:
- Calcular a derivada segunda:
- Avaliar
nos pontos críticos para classificar (teste da derivada segunda): - Em
: . Pelo teste, é ponto de mínimo local. - Em
: . Pelo teste, é ponto de máximo local.
- Em
- Calcular os valores da função nesses pontos (para dar as coordenadas completas):
-
Passo 4
Resolução de (b)
.
- Calcular a derivada primeira:
- Fatorar
para achar raízes mais facilmente:
- Pontos críticos são as raízes de
:
- Calcular a derivada segunda:
- Avaliar
nos pontos críticos: - Em
: . Então é ponto de máximo local. - Em
: . Então é ponto de mínimo local. - Em
: . Então é ponto de mínimo local.
- Em
- Calcular os valores da função nos pontos críticos:
-
Passo 5
Resolução de (c)
.
- Antes de derivar, lembrar a regra do produto: se
então .
Aquie . - Calcular a derivada primeira:
-
. -
(pela regra da cadeia).
-
- Encontrar pontos críticos resolvendo
. Note que para todo , então a única solução vem de :
- Calcular a derivada segunda para classificar:
Usando produto e a derivada de
:
- Avaliar em
:
Pelo teste da derivada segunda,
é ponto de máximo local.
- Valor da função no ponto:
Passo 6
Resolução de (d)
.
- Primeiro observar o domínio: o denominador
nunca é zero e é sempre positivo, portanto a função é definida e diferenciável para todo . - Calcular a derivada usando a regra do quociente, com
e :
- Simplificar o numerador:
Logo
- Pontos críticos: resolver
. O denominador nunca é zero, então a única solução é :
- Calcular a derivada segunda para classificar. É mais simples reescrever
e derivar usando produto + cadeia:
- Simplificar passo a passo:
- Primeiro termo:
. - Segundo termo:
. - Colocando em denominador comum
:
- Primeiro termo:
- Avaliar em
:
Pelo teste da derivada segunda,
é ponto de mínimo local.
- Valor da função em
:
Resposta
(a) máximo local em
com
; mínimo local em
com
.
(b) máximo local em
com
; mínimos locais em
e
com
.
(c) máximo local em
com
.
(d) mínimo local em
com
.