Verifique as hipóteses do Teorema do Valor Médio e encontre todos os valores de
:
Passo 1
O enunciado dá a função
no intervalo
e pede duas coisas:
- Verificar as hipóteses do Teorema do Valor Médio (se elas são satisfeitas para
em ). - Encontrar todos os valores de
em que o Teorema garante (ou seja, os tais que ).
Informações dadas:
-
. - Intervalo fechado
.
Passo 2
Enunciado do Teorema do Valor Médio (TVM) e o que cada símbolo significa:
Aqui:
-
e são os extremos do intervalo dado (no nosso caso , ). -
é a derivada de . - A fração à direita é a taxa média de variação de
entre e .
Vou usar essa fórmula com
e
.
Passo 3
Verificar as hipóteses do TVM para
em
.
- Continuidade: a função exponencial
é contínua para todo . Logo é contínua em . - Diferenciabilidade:
é diferenciável para todo (a derivada existe em todo lugar). Logo é diferenciável em .
Conclusão: as hipóteses do Teorema do Valor Médio estão satisfeitas para
no intervalo
. Portanto existe pelo menos um
que satisfaz a igualdade do TVM.
Passo 4
Calcular a taxa média de variação
.
Primeiro calcular
e
:
Portanto
Passo 5
Calcular a derivada
e aplicar o TVM.
A derivada da exponencial é ela mesma:
Pelo TVM existe
tal que
Para achar
aplicamos o logaritmo natural (inverso da exponencial). Como o argumento da função log é positivo (verificação implícita porque
), temos
Passo 6
Mostrar que esse
realmente está em
e que é único.
- Valores aproximados:
. Logo
Então
que pertence a
.
- Unicidade: a função
é estritamente crescente, portanto a equação (com fixo) tem exatamente uma solução. Assim há exatamente um que satisfaz a igualdade do TVM.
Resposta
As hipóteses do Teorema do Valor Médio são satisfeitas em
.