Verifique as hipóteses do Teorema do Valor Médio e encontre todos os valores de c :
f(x)=e^{x}, \quad[0,2]

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=e^{x} no intervalo [0,2] e pede duas coisas:
  • Verificar as hipóteses do Teorema do Valor Médio (se elas são satisfeitas para f em [0,2]).
  • Encontrar todos os valores de c em (0,2) que o Teorema garante (ou seja, os c tais que f'\text{(c)}=\dfrac{f(2)-f(0)}{2-0}).
Informações dadas:
  • f(x)=e^{x}.
  • Intervalo fechado [0,2].

Passo 2

Enunciado do Teorema do Valor Médio (TVM) e o que cada símbolo significa:
\text{Se }f\text{ é contínua em }[a,b]\text{ e diferenciável em }(a,b),\text{ então existe }c\in(a,b)\text{ tal que }éíáã
f'\text{(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.
Aqui:
  • a e b são os extremos do intervalo dado (no nosso caso a=0, b=2).
  • f' é a derivada de f.
  • A fração à direita é a taxa média de variação de f entre a e b.
Vou usar essa fórmula com a=0 e b=2.

Passo 3

Verificar as hipóteses do TVM para f(x)=e^{x} em [0,2].
  • Continuidade: a função exponencial e^{x} é contínua para todo x\in\mathbb{R}. Logo é contínua em [0,2].
  • Diferenciabilidade: e^{x} é diferenciável para todo x\in\mathbb{R} (a derivada existe em todo lugar). Logo é diferenciável em (0,2).
Conclusão: as hipóteses do Teorema do Valor Médio estão satisfeitas para f no intervalo [0,2]. Portanto existe pelo menos um c\in(0,2) que satisfaz a igualdade do TVM.

Passo 4

Calcular a taxa média de variação \dfrac{f(2)-f(0)}{2-0}.
Primeiro calcular f(2) e f(0):
f(2)=e^{2},\qquad f(0)=e^{0}=1.
Portanto
\frac{f(2)-f(0)}{2-0}=\frac{e^{2}-1}{2}.

Passo 5

Calcular a derivada f'(x) e aplicar o TVM.
A derivada da exponencial é ela mesma:
f'(x)=e^{x}.
Pelo TVM existe c\in(0,2) tal que
e^{c}=\frac{e^{2}-1}{2}.
Para achar c aplicamos o logaritmo natural (inverso da exponencial). Como o argumento da função log é positivo (verificação implícita porque e^{2}-1>0), temos
c=\ln\!\left(\frac{e^{2}-1}{2}\right).

Passo 6

Mostrar que esse c realmente está em (0,2) e que é único.
  • Valores aproximados: e^{2}\approx 7,389056. Logo
\frac{e^{2}-1}{2}\approx\frac{7,389056-1}{2}=\frac{6,389056}{2}\approx 3,194528.
Então
c=\ln(3,194528)\approx 1,160964,
que pertence a (0,2).
  • Unicidade: a função e^{x} é estritamente crescente, portanto a equação e^{x}=K (com K>0 fixo) tem exatamente uma solução. Assim há exatamente um c\in(0,2) que satisfaz a igualdade do TVM.

Resposta

As hipóteses do Teorema do Valor Médio são satisfeitas em [0,2].
c=\ln\!\left(\dfrac{e^{2}-1}{2}\right)\approx 1,160964

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