Para as funções abaixo, encontre os intervalos de crescimento/decrescimento:
(a) f(x)=x^{3}-12 x+1
(b) g(x)=x^{4}-2 x^{2}+3
(c) h(x)=x e^{-x}
(d) f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+3}

Passo 1

O enunciado pede para cada função abaixo encontrar os intervalos em que a função cresce e os intervalos em que ela decresce:
  • (a) f(x)=x^{3}-12x+1
  • (b) g(x)=x^{4}-2x^{2}+3
  • (c) h(x)=x e^{-x}
  • (d) f(x)=\dfrac{x^{2}}{x^{2}+3}
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Cada função está definida para todos os x\in\mathbb{R} (verificável pelos denominadores: no caso (d) o denominador x^{2}+3>0 para todo x).
  • O objetivo é determinar os intervalos de monotonicidade (crescimento/decrescimento) no domínio real.

Passo 2

Método que vou usar (explicando passo a passo — não se assusta, é a parte que sempre aparece em prova):
  1. A ideia-chave: a monotonicidade de uma função suave é controlada pelo sinal da derivada. Se a derivada é positiva em um intervalo, a função cresce lá; se a derivada é negativa, a função decresce; se a derivada é zero em pontos isolados, esses pontos são críticos e precisam de análise de sinal ao redor.
  2. Então o procedimento prático:
    • Calcular a derivada da função f'(x).
    • Encontrar os pontos onde f'(x)=0 ou onde f'(x) não existe (aqui todas vão ter derivada em todo \mathbb{R}).
    • Fazer um estudo de sinal de f'(x) nos intervalos determinados por esses pontos críticos (pegar um número teste em cada intervalo ou usar fatoração).
    • Concluir: onde f'(x)>0 a função cresce; onde f'(x)<0 ela decresce.
  3. Ferramentas que vou usar e explicar rapidamente:
    • Derivada de potência: \dfrac{d}{dx}\bigl(x^n\bigr)=n x^{n-1}.
    • Regra do produto: \dfrac{d}{dx}\bigl(u(x)v(x)\bigr)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
    • Regra do quociente: \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{u}{v}\right)=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}} quando v\neq0.
    • Exponencial: \dfrac{d}{dx}e^{ax}=a e^{ax}; em particular \dfrac{d}{dx}e^{-x}=-e^{-x}.
    • Para o estudo de sinal, fatorar a derivada é muito útil porque permite ver os zeros e o comportamento em cada fator.
Agora aplico esse procedimento a cada função, devagar, explicando cada passo.

Passo 3

Calcular a derivada de f(x)=x^{3}-12x+1.
Derivando termo a termo usando a regra da potência:
f'(x)=\dfrac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)-\dfrac{d}{dx}(12x)+\dfrac{d}{dx}(1)=3x^{2}-12+0.
Fatorando:
f'(x)=3x^{2}-12=3(x^{2}-4)=3(x-2)(x+2).
Os pontos críticos são as raízes de f'(x)=0, ou seja, x=-2 e x=2.

Passo 4

Estudo de sinal de f'(x)=3(x-2)(x+2).
  • O fator 3 é positivo sempre e não afeta sinais.
  • Os zeros são x=-2 e x=2. Esses pontos dividem a reta em três intervalos: (-\infty,-2), (-2,2) e (2,\infty).
    Escolho um valor-teste em cada intervalo e avalio o sinal de (x-2)(x+2):
  • Para x<-2 (ex.: x=-3): (x-2)<0 e (x+2)<0 então produto >0.
  • Para -2<x<2 (ex.: x=0): (x-2)<0 e (x+2)>0 então produto <0.
  • Para x>2 (ex.: x=3): (x-2)>0 e (x+2)>0 então produto >0.
    Conclusão para (a): f'(x)>0 em (-\infty,-2)\cup(2,\infty) e f'(x)<0 em (-2,2).

Passo 5

Calcular a derivada de g(x)=x^{4}-2x^{2}+3.
Derivando:
g'(x)=4x^{3}-4x.
Fatorando:
g'(x)=4x^{3}-4x=4x(x^{2}-1)=4x(x-1)(x+1).
Os pontos críticos são x=-1, x=0 e x=1.

Passo 6

Estudo de sinal de g'(x)=4x(x-1)(x+1). O fator 4 é positivo e pode ser ignorado no sinal.
Os intervalos determinados são (-\infty,-1), (-1,0), (0,1) e (1,\infty).
Avalio o sinal de cada fator em cada intervalo:
  • Para x<-1 (ex.: x=-2): x<0 (neg), x-1 (neg), x+1 (neg) → três negativos → produto negativo. Então g'<0 em (-\infty,-1).
  • Para -1<x<0 (ex.: x=-\tfrac12): x (neg), x-1 (neg), x+1 (pos) → (neg)(neg)(pos)=pos. Então g'>0 em (-1,0).
  • Para 0<x<1 (ex.: x=\tfrac12): x (pos), x-1 (neg), x+1 (pos) → (pos)(neg)(pos)=neg. Então g'<0 em (0,1).
  • Para x>1 (ex.: x=2): todos os fatores são positivos → produto positivo. Então g'>0 em (1,\infty).

Passo 7

Calcular a derivada de h(x)=x e^{-x}.
Aqui uso a regra do produto. Se u(x)=x e v(x)=e^{-x}, então u'(x)=1 e v'(x)=-e^{-x}. Aplicando a regra:
h'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=1\cdot e^{-x}+x\cdot(-e^{-x})=e^{-x}-x e^{-x}.
Fatorando e^{-x}:
h'(x)=e^{-x}(1-x).
Como e^{-x}>0 para todo x, o sinal de h'(x) é o sinal de 1-x. A única raiz é x=1.

Passo 8

Como e^{-x}>0 sempre, analisamos 1-x:
  • Para x<1, 1-x>0 então h'(x)>0.
  • Para x>1, 1-x<0 então h'(x)<0.
    Conclusão: h'(x)>0 em (-\infty,1) e h'(x)<0 em (1,\infty).

Passo 9

Calcular a derivada de f(x)=\dfrac{x^{2}}{x^{2}+3}.
Uso a regra do quociente com u(x)=x^{2} e v(x)=x^{2}+3. Então u'(x)=2x e v'(x)=2x. Aplicando:
f'(x)=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}=\dfrac{2x(x^{2}+3)-x^{2}(2x)}{(x^{2}+3)^{2}}.
Simplificando o numerador:
2x(x^{2}+3)-2x x^{2}=2x^{3}+6x-2x^{3}=6x.
Portanto
f'(x)=\dfrac{6x}{(x^{2}+3)^{2}}.
Observações: o denominador (x^{2}+3)^{2}>0 para todo x, então o sinal de f'(x) é o sinal do numerador 6x.

Passo 10

Analisando f'(x)=\dfrac{6x}{(x^{2}+3)^{2}}:
  • Para x<0, 6x<0 então f'(x)<0.
  • Para x>0, 6x>0 então f'(x)>0.
  • Em x=0, f'(0)=0.
    Conclusão: f'(x)<0 em (-\infty,0) e f'(x)>0 em (0,\infty).

Resposta

(a) Cresce em (-\infty,-2)\cup(2,\infty). Decresce em (-2,2).
(b) Cresce em (-1,0)\cup(1,\infty). Decresce em (-\infty,-1)\cup(0,1).
(c) Cresce em (-\infty,1). Decresce em (1,\infty).
(d) Cresce em (0,\infty). Decresce em (-\infty,0).

Exercícios relacionados