Para as funções abaixo, encontre os intervalos de crescimento/decrescimento:
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para cada função abaixo encontrar os intervalos em que a função cresce e os intervalos em que ela decresce:
- (a)
- (b)
- (c)
- (d)
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Cada função está definida para todos os
(verificável pelos denominadores: no caso (d) o denominador para todo ). - O objetivo é determinar os intervalos de monotonicidade (crescimento/decrescimento) no domínio real.
Passo 2
Método que vou usar (explicando passo a passo — não se assusta, é a parte que sempre aparece em prova):
- A ideia-chave: a monotonicidade de uma função suave é controlada pelo sinal da derivada. Se a derivada é positiva em um intervalo, a função cresce lá; se a derivada é negativa, a função decresce; se a derivada é zero em pontos isolados, esses pontos são críticos e precisam de análise de sinal ao redor.
- Então o procedimento prático:
- Calcular a derivada da função
. - Encontrar os pontos onde
ou onde não existe (aqui todas vão ter derivada em todo ). - Fazer um estudo de sinal de
nos intervalos determinados por esses pontos críticos (pegar um número teste em cada intervalo ou usar fatoração). - Concluir: onde
a função cresce; onde ela decresce.
- Calcular a derivada da função
- Ferramentas que vou usar e explicar rapidamente:
- Derivada de potência:
. - Regra do produto:
. - Regra do quociente:
quando . - Exponencial:
; em particular . - Para o estudo de sinal, fatorar a derivada é muito útil porque permite ver os zeros e o comportamento em cada fator.
- Derivada de potência:
Agora aplico esse procedimento a cada função, devagar, explicando cada passo.
Passo 3
Calcular a derivada de
.
Derivando termo a termo usando a regra da potência:
Fatorando:
Os pontos críticos são as raízes de
, ou seja,
e
.
Passo 4
Estudo de sinal de
.
- O fator
é positivo sempre e não afeta sinais. - Os zeros são
e . Esses pontos dividem a reta em três intervalos: , e .
Escolho um valor-teste em cada intervalo e avalio o sinal de: - Para
(ex.: ): e então produto . - Para
(ex.: ): e então produto . - Para
(ex.: ): e então produto .
Conclusão para (a):em e em .
Passo 5
Calcular a derivada de
.
Derivando:
Fatorando:
Os pontos críticos são
,
e
.
Passo 6
Estudo de sinal de
. O fator
é positivo e pode ser ignorado no sinal.
Os intervalos determinados são ,
,
e
.
Avalio o sinal de cada fator em cada intervalo:
Os intervalos determinados são
Avalio o sinal de cada fator em cada intervalo:
- Para
(ex.: ): (neg), (neg), (neg) → três negativos → produto negativo. Então em . - Para
(ex.: ): (neg), (neg), (pos) → (neg)(neg)(pos)=pos. Então em . - Para
(ex.: ): (pos), (neg), (pos) → (pos)(neg)(pos)=neg. Então em . - Para
(ex.: ): todos os fatores são positivos → produto positivo. Então em .
Passo 7
Calcular a derivada de
.
Aqui uso a regra do produto. Se
e
, então
e
. Aplicando a regra:
Fatorando
:
Como
para todo
, o sinal de
é o sinal de
. A única raiz é
.
Passo 8
Como
sempre, analisamos
:
- Para
, então . - Para
, então .
Conclusão:em e em .
Passo 9
Calcular a derivada de
.
Uso a regra do quociente com
e
. Então
e
. Aplicando:
Simplificando o numerador:
Portanto
Observações: o denominador
para todo
, então o sinal de
é o sinal do numerador
.
Passo 10
Analisando
:
- Para
, então . - Para
, então . - Em
, .
Conclusão:em e em .
Resposta
(a) Cresce em
. Decresce em
.
(b) Cresce em
. Decresce em
.
(c) Cresce em
. Decresce em
.
(d) Cresce em
. Decresce em
.