Para a função abaixo, é possível aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo? Se for possível, calcule a integral e se não for possível, explique qual o problema com a integral. Faça um esboço da função (integrando) com especial atenção no intervalo de integração.
integral0^1 ln (x) d x.

Passo 1

Estamos calculando a integral integral0^1ln(x),dx. O conteúdo envolvido é o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) e também o estudo de integrais impróprias, pois precisamos checar se ln(x) é contínua em todo o intervalo [0,1].

Passo 2

A função integrando é f(x)=ln(x). Ela é contínua em (0,1], mas diverge para -infty quando xto0^+. Num esboço rápido, f(x) vai de -infty em x=0^+ até 0 em x=1. Isso nos mostra que a integral é imprópria no extremo x=0.

Passo 3

Para tratar a descontinuidade em x=0, definimos a integral como um limite:
integral0^1ln(x),dx = limvarepsilonto0^+integralvarepsilon^1ln(x),dx

Passo 4

Agora encontramos uma primitiva de ln(x). Usando integração por partes (ou sabedoria): seja u=ln(x) e dv=dx, então
integralln(x),dx = xln(x)-x + C

Passo 5

Substituindo na integral imprópria:
integralvarepsilon^1ln(x),dx = l[xln(x)-xr]varepsilon^1 = (1cdot0-1) - (varepsilonln(varepsilon)-varepsilon)
Quando varepsilonto0^+, temos varepsilonto0 e varepsilonln(varepsilon)to0. Logo o resultado é
-1 - (0 - 0) = -1
Portanto, apesar de ln(x) não ser contínua em 0, a integral imprópria converge e podemos concluir usando limites.

Passo 6

Concluímos que não aplicamos diretamente o TFC em [0,1] por falta de continuidade em 0, mas tratamos como integral imprópria e o valor final é bem definido.

Resposta

-1

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