Para a função abaixo, é possível aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo? Se for possível, calcule a integral e se não for possível, explique qual o problema com a integral. Faça um esboço da função (integrando) com especial atenção no intervalo de integração.
.
Passo 1
Estamos calculando a integral
. O conteúdo envolvido é o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) e também o estudo de integrais impróprias, pois precisamos checar se
é contínua em todo o intervalo
.
Passo 2
A função integrando é
. Ela é contínua em
, mas diverge para
quando
. Num esboço rápido,
vai de
em
até
em
. Isso nos mostra que a integral é imprópria no extremo
.
Passo 3
Para tratar a descontinuidade em
, definimos a integral como um limite:
Passo 4
Agora encontramos uma primitiva de
. Usando integração por partes (ou sabedoria): seja
e
, então
Passo 5
Substituindo na integral imprópria:
Quando
, temos
e
. Logo o resultado é
Portanto, apesar de
não ser contínua em
, a integral imprópria converge e podemos concluir usando limites.
Passo 6
Concluímos que não aplicamos diretamente o TFC em
por falta de continuidade em
, mas tratamos como integral imprópria e o valor final é bem definido.
Resposta
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