integral0^1 7 x-6x^2-x-6 d x

Passo 1

O problema é calcular a integral integral0^1 7x-6x^2 - x - 6,dx. O conteúdo envolve integração de funções racionais e vamos precisar usar decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador: x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2).
Em seguida, escrevemos 7x-6(x-3)(x+2) = Ax-3 + Bx+2 e montamos a identidade 7x-6 = A(x+2) + B(x-3).

Passo 3

Comparando coeficientes em 7x-6 = (A+B)x + (2A - 3B) obtemos o sistema
A + B = 7 2A - 3B = -6
cuja solução é A = 3 e B = 4.

Passo 4

Logo a integral fica
integral0^1 7x-6x^2 - x - 6,dx = integral0^1 l(3x-3 + 4x+2r),dx
Integrando termo a termo,
3integral0^1 dxx-3 + 4integral0^1 dxx+2 = 3l[ln|x-3|r]0^1 + 4l[ln|x+2|r]0^1

Passo 5

Avaliar nos limites dá
3(ln|1-3| - ln|0-3|) + 4(ln|1+2| - ln|0+2|) = 3(ln2 - ln3) + 4(ln3 - ln2) = -ln2 + ln3 = ln!l(tfrac32r)

Resposta

lnl(tfrac32r)

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